Question

Обчислити площу фігури обмеженої лініями у=х^2-6х+8 і у=-2х^2+12х-16

Answer 1

Ответ:     4 кв.ед.

Пошаговое объяснение:

Строим графики функций у=х^2-6х+8; у=-2х^2+12х-16.

Площадь S=∫(a;b)f₁(x)dx - ∫(a;b)f₂(x)dx, где

Пределы интегрирования a=2;  b=4.

f₁(x) = -2х^2+12х-16.

f₂(x) = у=х^2-6х+8. Тогда

S=∫(2;4) (-2х^2+12х-16)dx - ∫(2;4) (х^2-6х+8) dx = 8/3*(-4/3) = 12/3 = 4кв.ед.

-------------

1)  ∫(2;4) (-2x^2) + ∫(2;4) (12x)dx - ∫(2;4)(16)dx =

=-2/3(x^3)|(2;4) + 12/2(x^2)|(2;4) - 16(x)|(2;4) =

= -2/3(4^3-2^3) + 6(4^2-2^2) - 16(4-2) =

= -2/3(64-8)+6(16-4)-16*2 = -2/3 *56 + 6*12 - 32 =  8/3;

--------------

2)  ∫(2;4)(x^2)dx + ∫(2;4)(6x)dx - ∫(2;4)(8)dx  =

= 1/3(x^3)|(2;4) - 6/2(x^2)|(2.4) + 8(x)|(2;4) =

=  1/3(4^3-2^3) - 3(4^2-2^2) + 8(4-2) = 1/3(64-8) - 3(16-4) + 8*2 =

=  1/3 *56 - 3*12 + 16 = -4/3.

Answer 2

Для обчислення площі фігури, обмеженої цими двома кривими, спочатку потрібно знайти точки перетину цих двох функцій. Для цього розв'яжемо систему рівнянь:

х^2-6х+8 = -2х^2+12х-16

Після спрощення цього рівняння отримаємо:

3х^2 - 18х + 24 = 0

Тепер знайдемо корені цього квадратного рівняння за допомогою квадратного кореня:

D = (-18)^2 - 4*3*24 = 324 - 288 = 36

x1 = (18 + √36) / 6 = (18 + 6) / 6 = 24 / 6 = 4 x2 = (18 - √36) / 6 = (18 - 6) / 6 = 12 / 6 = 2

Таким чином, точки перетину обох кривих рівні x = 2 та x = 4.

Тепер, щоб знайти площу фігури, обмеженої цими двома кривими, потрібно обчислити відповідний інтеграл:

S = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx, де f(x) - верхня функція, g(x) - нижня функція, а та b - точки перетину.

Отже, площа фігури буде рівна:

S = ∫[2, 4] ((x^2-6x+8) - (-2x^2+12x-16)) dx S = ∫[2, 4] (3x^2-18x+24) dx S = (x^3 - 9x^2 + 24x) | from 2 to 4 S = (4^3 - 9*4^2 + 24*4) - (2^3 - 9*2^2 + 24*2) S = (64 - 144 + 96) - (8 - 36 + 48) S = (64 - 144 + 96) - (8 - 36 + 48) S = 16

Отже, площа фігури, обмеженої цими двома кривими, дорівнює 16 квадратним одиницям.