Question

Скласти рівняння площини,яка проходить через точку C(1;1;1) паралельно векторам a=(-1;-2;1) і b=(1;2;-2)

Answer 1

Щоб скласти рівняння площини, яка проходить через точку \( C(1;1;1) \) і паралельна векторам \( \mathbf{a} = (-1; -2; 1) \) і \( \mathbf{b} = (1; 2; -2) \), можемо скористатися загальною формою рівняння площини.

Загальна форма рівняння площини має вигляд: \[ Ax + By + Cz = D, \] де \( (A, B, C) \) - вектор нормалі до площини.

Оскільки вектор нормалі можна знайти як векторний добуток двох векторів, взятих з площини, можемо використовувати вектори \( \mathbf{a} \) і \( \mathbf{b} \).

\[ \mathbf{N} = \mathbf{a} \times \mathbf{b} \]

Векторний добуток векторів \( \mathbf{a} \) і \( \mathbf{b} \) знаходимо так: \[ \mathbf{N} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & -2 & 1 \\ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix} \] \[ \mathbf{N} = \mathbf{i}(-2 \cdot (-2) - 1 \cdot 2) - \mathbf{j}(-1 \cdot (-2) - 1 \cdot 1) + \mathbf{k}(-1 \cdot 2 - (-1) \cdot 1) \] \[ \mathbf{N} = 3\mathbf{i} - \mathbf{j} + 1\mathbf{k} \]

Тепер, маючи вектор нормалі \( \mathbf{N} = (3, -1, 1) \), можемо скласти рівняння площини, підставивши значення точки \( C(1;1;1) \): \[ 3x - y + z = D \]

Підставимо координати точки \( C(1;1;1) \): \[ 3(1) - 1 + 1 = D \] \[ D = 3 - 1 + 1 \] \[ D = 3 \]

Отже, рівняння площини, яка проходить через точку \( C(1;1;1) \) і паралельна векторам \( \mathbf{a} = (-1; -2; 1) \) і \( \mathbf{b} = (1; 2; -2) \), має вигляд: \[ 3x - y + z = 3 \]