Question

Исследовать функцию на непрерывность y = 10^(1/(4 - x))

Answer 1

Чтобы исследовать функцию \(y = 10^{1/(4 - x)}\) на непрерывность, нужно рассмотреть её домен, точки, где функция может быть неопределённой, и проверить поведение функции в этих точках.

1. Домен функции: Домен функции - это множество всех значений \(x\), для которых функция определена. В данном случае функция содержит в знаменателе выражение \(4 - x\), и поскольку логарифм отрицательного числа не определён в действительных числах, мы должны исключить значения \(x\), для которых \(4 - x\) отрицательно. Таким образом, домен функции - это множество всех \(x\), для которых \(4 - x > 0\). Решая это неравенство, получаем \(x < 4\).

Итак, домен функции - \((- \infty, 4)\).

2. Точки разрыва: Точка разрыва может возникнуть, если функция становится неопределённой при определенных значениях \(x\). В данной функции мы можем столкнуться с тремя основными случаями, где функция может быть неопределённой: - Когда основание степени \(10^{1/(4 - x)}\) отрицательно. Однако, так как основание равно \(10\), а экспонента в знаменателе нечётна, функция не становится неопределённой при данном условии. - Когда основание степени равно нулю. Но так как \(10\) в любой степени больше нуля, этот случай также исключается.

- Когда знаменатель степени равен нулю. То есть, когда \(4 - x = 0\). Решив это уравнение, получаем \(x = 4\). В этой точке функция может иметь разрыв.

3. Анализ поведения в точках разрыва: Разрыв может быть устранимым или неустранимым. Устранимый разрыв возникает, когда значение функции в точке разрыва можно определить или переопределить так, чтобы функция стала непрерывной. Неустранимый разрыв возникает, когда значение функции в точке разрыва не может быть определено так, чтобы функция стала непрерывной.

Рассмотрим точку разрыва \(x = 4\). Значение функции при \(x = 4\) равно \(10^{1/(4 - 4)} = 10^{1/0}\). Это значение не определено, поскольку деление на ноль не имеет смысла. Таким образом, у нас есть неустранимый разрыв в точке \(x = 4\).

Итак, функция \(y = 10^{1/(4 - x)}\) непрерывна на своём домене \((- \infty, 4)\), за исключением точки разрыва \(x = 4\).