Question

в прямоугольном параллелепипеде LOPML1O1P1M1 LO=4см, LM=4см, LL1=5см. Найдите косинус угла между прямыми L1B и M1H, где точки B и H- середины ребер O1P1 и LM соответственно

Answer 1

Для решения задачи нам нужно воспользоваться геометрическими свойствами параллелепипеда и прямоугольного треугольника.

Дано: - \(LO = 4\) см - \(LM = 4\) см - \(LL_1 = 5\) см

Мы видим, что треугольник \(LOL_1\) - прямоугольный треугольник. Также из условия, мы знаем, что это прямоугольный параллелепипед. Поэтому у нас есть основания для использования тригонометрических функций.

Сначала найдем длины отрезков \(L_1B\) и \(M_1H\), где \(B\) и \(H\) - середины ребер \(O_1P_1\) и \(LM\) соответственно.

1. Найдем \(L_1B\):

\[L_1B = \frac{1}{2} \cdot LL_1\]

\[L_1B = \frac{1}{2} \cdot 5 = 2.5\]

2. Найдем \(M_1H\):

\[M_1H = \frac{1}{2} \cdot LM\]

\[M_1H = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2\]

Теперь мы можем использовать косинус угла между прямыми. Косинус угла между двумя прямыми \(AC\) и \(BD\) векторов задается следующей формулой:

\[ \cos(\theta) = \frac{AC \cdot BD}{\|AC\| \cdot \|BD\|} \]

Где: - \(AC\) и \(BD\) - векторы - \(\cdot\) - скалярное произведение - \(\|\|\) - длина вектора

В данном случае, \(AC\) и \(BD\) - это векторы, соединяющие точки \(L_1\) и \(B\), а также \(M_1\) и \(H\) соответственно.

\[ \cos(\theta) = \frac{{\vec{L_1B} \cdot \vec{M_1H}}}{{\|\vec{L_1B}\| \cdot \|\vec{M_1H}\|}} \]

Сначала найдем векторы:

\(\vec{L_1B} = \langle 0, -2.5, 0 \rangle\) (поскольку это движение вниз) \(\vec{M_1H} = \langle 0, -2, 0 \rangle\) (также движение вниз)

Теперь посчитаем скалярное произведение:

\(\vec{L_1B} \cdot \vec{M_1H} = 0 \cdot 0 + (-2.5) \cdot (-2) + 0 \cdot 0 = 5\)

Теперь найдем длины векторов:

\(\|\vec{L_1B}\| = \sqrt{0^2 + (-2.5)^2 + 0^2} = 2.5\)

\(\|\vec{M_1H}\| = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + 0^2} = 2\)

Теперь подставим значения в формулу:

\[ \cos(\theta) = \frac{5}{2.5 \cdot 2} = \frac{5}{5} = 1\]

Таким образом, косинус угла между прямыми \(L_1B\) и \(M_1H\) равен 1.

Косинус угла \(0^\circ\) равен 1, что означает, что угол между прямыми \(L_1B\) и \(M_1H\) равен \(0^\circ\).