Question

Найти площади фигур ограниченных линиями y = -x ^ 2-2x + 8 и x ^ 2 + 2x + 2

Answer 1

y = x²   -  квадратичная функция, график - парабола, ветви направлены вверх.

y = 2x + 8  -  линейная функция, график - прямая линия.

Точки пересечения графиков :

x² = 2x + 8

x² - 2x - 8 = 0

(x + 2)(x - 4) = 0

x₁ = -2;    x₂ = 4    - пределы интегрирования

Площадь фигуры ограничена сверху прямой линией  y=2x+8, снизу параболой  y=x²  ( см. рисунок).

Ответ :36

Answer 2

Для решения этой задачи нужно найти точки пересечения двух графиков и вычислить площади фигур, ограниченных этими линиями.

Для начала, найдем точки пересечения двух графиков:

y = -x^2 - 2x + 8 y = x^2 + 2x + 2

Чтобы найти точки пересечения, приравняем два уравнения: -x^2 - 2x + 8 = x^2 + 2x + 2

Перенесем все в одну сторону: 2x^2 + 4x - 6 = 0

Разделим оба члена на 2: x^2 + 2x - 3 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Можно либо применить квадратное уравнение, либо разложить его на множители. Здесь разложение на множители будет проще:

(x + 3)(x - 1) = 0

Отсюда получаем два значения: x + 3 = 0 или x - 1 = 0 x = -3 или x = 1

Таким образом, точки пересечения находятся при x = -3 и x = 1.

Теперь можем рассмотреть две фигуры, ограниченные этими линиями:

1. Фигура слева от оси y: Площадь можно найти с помощью определенного интеграла, который находит разность между графиками этих функций в заданных пределах.

Для определения площади фигуры между двумя кривыми используется формула: S = ∫(f(x) - g(x)) dx

где f(x) и g(x) - это уравнения двух кривых, которые ограничивают фигуру.

Заметим, что наше уравнение y = -x^2 - 2x + 8 находится под кривой y = x^2 + 2x + 2, поэтому нам нужно вычислить интеграл:

S1 = ∫((-x^2 - 2x + 8) - (x^2 + 2x + 2)) dx, с пределами интегрирования от -3 до 1.

Решая этот интеграл, получим площадь фигуры слева от оси y.

2. Фигура справа от оси y: Аналогично, площадь можно найти, поменяв только порядок вычитания:

S2 = ∫((x^2 + 2x + 2) - (-x^2 - 2x + 8)) dx, с пределами интегрирования от -3 до 1.

Решая этот интеграл, получим площадь фигуры справа от оси y.

Вычисления интегралов могут быть достаточно сложными и могут потребовать использования методов численного интегрирования, таких как метод прямоугольников или метод трапеций.

Более конкретные значения площадей можно получить, используя численные методы или математические программы, такие как Wolfram Alpha или MATLAB.