Question

F(x)=(x-2)^2×(x+2) Найти интервалы монотонности и экстремумы функции

Answer 1

Будем считать, что функция задана так: f(x)=((x-2)^2)×(x+2).

Раскроем скобки: y = x³ - 2x² - 4x + 8.

Производная функции равна: y' = 3x² - 4x - 4.

Приравниваем её нулю: 3x² - 4x - 4 = 0. D = 16+4*3*4 = 64.

x1 = (4-8)/6 = -4/6 = -2/3,

x2 = (4+8)/6 = 12/6 = 2.

Функция возрастает (-∞; (-2/3)) и (2; +∞).

Убывает ((-2/3); 2).

Экстремумы: максимум у = 257/27 при х = (-2/3),

                       минимум у = 0 при х = 2.

Answer 2

Чтобы найти интервалы монотонности и экстремумы функции f(x) = (x-2)^2 * (x+2), необходимо проанализировать производную функции и ее вторую производную.

1. Найдем производную функции f(x): f'(x) = 2(x-2)(x+2) + (x-2)^2

2. Раскроем скобки и упростим выражение: f'(x) = 2(x^2 - 4) + (x^2 - 4x + 4) f'(x) = 2x^2 - 8 + x^2 - 4x + 4 f'(x) = 3x^2 - 4x - 4

3. Найдем вторую производную функции f(x): f''(x) = 6x - 4

4. Найдем точки, в которых первая производная равна нулю: 3x^2 - 4x - 4 = 0

Для решения этого уравнения можно воспользоваться формулой дискриминанта: D = b^2 - 4ac D = (-4)^2 - 4 * 3 * (-4) D = 16 + 48 D = 64

Теперь найдем корни уравнения: x = (-b ± sqrt(D)) / (2a) x1 = (-(-4) + sqrt(64)) / (2 * 3) x2 = (-(-4) - sqrt(64)) / (2 * 3) x1 = (4 + 8) / 6 x2 = (4 - 8) / 6 x1 = 12 / 6 x2 = -4 / 6 x1 = 2 x2 = -2

Таким образом, получаем две критические точки: x1 = 2 и x2 = -2.

5. Анализируем знаки первой производной функции на интервалах: - берем произвольное значение слева от критической точки x2 (например, x = -3): f'(-3) = 3(-3)^2 - 4(-3) - 4 f'(-3) = 27 + 12 - 4 f'(-3) = 35 > 0

- берем произвольное значение между критическими точками x2 и x1 (например, x = 0): f'(0) = 3(0)^2 - 4(0) - 4 f'(0) = -4 < 0

- берем произвольное значение справа от критической точки x1 (например, x = 3): f'(3) = 3(3)^2 - 4(3) - 4 f'(3) = 27 - 12 - 4 f'(3) = 11 > 0

Исходя из анализа знаков первой производной, можно сделать вывод, что функция f(x) убывает на интервале (-∞, x2) и возрастает на интервалах (x2, x1) и (x1, +∞).

6. Анализируем знаки второй производной функции: - если f''(x) > 0 на некотором интервале, то функция выпукла (смотрим на верхней границе); - если f''(x) < 0 на некотором интервале, то функция вогнута (смотрим на верхней границе).

Подставляем критические точки во вторую производную функции: - f''(-2) = 6(-2) - 4 = -16 < 0 - f''(2) = 6(2) - 4 = 8 > 0

Таким образом, на интервале (-∞, x2) функция f(x) вогнута, на интервале (x2, x1) функция выпукла, а на интервале (x1, +∞) функция снова вогнута.

7. Найдем экстремумы функции: - экстремум - это точка минимума или максимума на графике функции.

Для этого необходимо проанализировать первую производную функции на интервалах между критическими точками и на концах интервалов.

- на интервале (-∞, x2) функция убывает, следовательно, на этом интервале будет точка максимума; - на интервале (x2, x1) функция возрастает, следовательно, на этом интервале будет точка минимума; - на интервале (x1, +∞) функция снова убывает, следовательно, на этом интервале будет точка максимума.

Таким образом, максимум будет на интервале (-∞, x2), минимум будет на интервале (x2, x1), и вновь максимум будет на интервале (x1, +∞).

Итак, интервалы монотонности и экстремумы функции f(x) = (x-2)^2 * (x+2) следующие: - функция убывает на интервале (-∞, x2); - функция возрастает на интервале (x2, x1); - функция убывает на интервале (x1, +∞); - максимум на интервале (-∞, x2); - минимум на интервале (x2, x1); - максимум на интервале (x1, +∞).