Question

Решить уравнение операционным методом x"+4x'+4=4 при x(0)=0, x'(0)=2

Answer 1

Для решения данного дифференциального уравнения операционным методом, можно использовать преобразование Лапласа. Уравнение:

x'' + 4x' + 4 = 4

Применяя преобразование Лапласа к обоим сторонам уравнения, получим:

s^2X(s) - sx(0) - x'(0) + 4sX(s) - 4x(0) + 4X(s) = 4/s

Подставив начальные условия x(0) = 0 и x'(0) = 2:

s^2X(s) - 2s + 4sX(s) - 4X(s) = 4/s

Теперь объединим члены с X(s) в один:

(s^2 + 4s - 4)X(s) - 2s = 4/s

X(s) = 2s / ((s^2 + 4s - 4) + 4/s)

Теперь нужно разложить дробь в правой части на простые дроби. Для этого сначала найдем корни знаменателя:

s^2 + 4s - 4 = 0

Решив это квадратное уравнение, получим два корня:

s1 = -2 + 2√3

s2 = -2 - 2√3

Теперь разложим дробь на простые дроби:

X(s) = 2s / (((s - s1)(s - s2)) + 4/s)

Теперь мы можем воспользоваться частными дробями:

X(s) = A/(s - s1) + B/(s - s2) + 4/s

Умножим обе стороны на ((s - s1)(s - s2)):

2s = A(s -

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами методом операторов (или операционным методом), мы можем воспользоваться следующими шагами.

Обозначим оператор дифференцирования по времени \(D\) и оператор второй производной по времени \(D^2\). Тогда уравнение будет иметь вид:

\[D^2 x + 4Dx + 4x = 4\]

Теперь давайте найдем частное решение этого уравнения. Для этого предположим, что \(x\) имеет вид \(x_p = A\), где \(A\) - константа. Тогда подставим \(x_p\) в уравнение:

\[D^2 A + 4DA + 4A = 4\]

Так как \(D A = 0\) и \(D^2 A = 0\), у нас остается уравнение \(4A = 4\), откуда \(A = 1\).

Теперь найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

\[D^2 x_h + 4Dx_h + 4x_h = 0\]

Характеристическое уравнение этого однородного уравнения:

\[r^2 + 4r + 4 = 0\]

Решив это квадратное уравнение, получаем корень \(r = -2\), который имеет кратность 2. Таким образом, общее решение однородного уравнения:

\[x_h(t) = (C_1 + C_2t)e^{-2t}\]

где \(C_1\) и \(C_2\) - произвольные константы.

Теперь общее решение полного уравнения:

\[x(t) = x_h(t) + x_p(t) = (C_1 + C_2t)e^{-2t} + 1\]

Используем начальные условия \(x(0) = 0\) и \(x'(0) = 2\) для нахождения констант \(C_1\) и \(C_2\):

\[x(0) = C_1 + 1 = 0 \implies C_1 = -1\]

\[x'(t) = -2C_1e^{-2t} + C_2e^{-2t}\] \[x'(0) = -2C_1 + C_2 = 2 \implies C_2 = 2 - 2C_1 = 2 + 2 = 4\]

Таким образом, окончательное решение задачи:

\[x(t) = (-1 + 4t)e^{-2t} + 1\]