Question

5. Концы отрезка, пересекающего плоскость, удалены от нее на расстоянии 15 см и 7 см. Найдите расстояние от середины отрезка до плоскости. (10 баллов)​

Answer 1

Для решения этой задачи используем следующий подход:

1. Обозначим концы отрезка как \(A\) и \(B\), а плоскость как \(\Pi\). 2. Пусть \(M\) - середина отрезка \(AB\). 3. Обозначим расстояние от точек \(A\) и \(B\) до плоскости \(\Pi\) как \(d_A\) и \(d_B\) соответственно.

Согласно условию задачи, \(d_A = 15 \, \text{см}\) и \(d_B = 7 \, \text{см}\).

Расстояние от точки до плоскости можно найти по формуле:

\[d = \frac{|Ax + By + Cz + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\]

где уравнение плоскости \(\Pi\) имеет вид \(Ax + By + Cz + D = 0\).

Поскольку отрезок \(AB\) пересекает плоскость \(\Pi\), то \(d_A\) и \(d_B\) равны расстояниям от точек \(A\) и \(B\) до этой плоскости. Подставим значения в формулу:

\[d_A = \frac{|A \cdot x_A + B \cdot y_A + C \cdot z_A + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\]

\[d_B = \frac{|A \cdot x_B + B \cdot y_B + C \cdot z_B + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\]

где \((x_A, y_A, z_A)\) и \((x_B, y_B, z_B)\) - координаты точек \(A\) и \(B\) соответственно.

Теперь найдем координаты середины отрезка \(AB\), обозначенной \(M\):

\[x_M = \frac{x_A + x_B}{2}\] \[y_M = \frac{y_A + y_B}{2}\] \[z_M = \frac{z_A + z_B}{2}\]

Теперь можем найти расстояние от середины отрезка до плоскости. Подставим значения координат \(M\) в формулу:

\[d_M = \frac{|A \cdot x_M + B \cdot y_M + C \cdot z_M + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\]

Это и будет искомое расстояние от середины отрезка до плоскости. Подставим известные значения и решим задачу.