Question

1) Отрезок перресекает плоскость, концы отрезка удалены от плоскости на расстоянии 8 см и 2 см. Найти расстояние середины отрезка. 2) Из точки, отстоящей от плоскости на расстоянии 3 см, проведены 2 наклонные образующие с плоскостью углы 45 и 30 градусов, а между собой прямой угол. Определить расстояние между концами наклонных. 3) Дан треугольник ABC со сторонам AB= 9 см, BC=6 см, AC=5 см. Через сторону АС проходит плоскость М, составляющая с плоскостью треугольника угол 45 градусов. Найти расстояние от вершины B до плоскости М.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

1. Найти середину отрезка.

Рисунок к задаче в приложении.

Три варианта формул:

1) С = (А+В)/2 = (8+2)/5  =   5 - ответ.

2) С = В + (А-В)/2 = 2 + (8-2)/2 = 5 - ответ

3) С = А - (А-В)/2 = 8 - (8-2)2 = = 5 - ответ

2. Наклонные

Рисунок к задаче в приложении.

Применяем тригонометрические формулы.

AD/BD = tgβ = tg 45° = 1

BD = AD = 3 - отрезок

AD/CD = tg30° = √3/2

AD = 3√3/2 - отрезок

ВС = 3(√3/2 -1) = 3/2*(√3 - 2) - длина отрезка - ответ.

3. расстояние ВМ - равно высоте h(B) треугольника АВС.

Формула для высоты h(B):

$h_{b}=\frac{2\sqrt{p*(p-a)(p-b(p-c)}}{b}$

p = (a+b+c)/2  = 10

(p-a) = 4 и  (p-b) = 5 и (p-c) = 1

Под корнем = 200

BD = h(b) = 2/5*√200  - высота в треугольнике.

Наклоняем треугольник на 45° и высота становится гипотенузой.

BM = BD*cos45° = 2/5√200*√2/2 = √100/5 = 10/5 = 2 высота - ответ

Answer 2

Для каждого из заданий рассмотрим ситуацию по отдельности.

1. Расстояние от середины отрезка до плоскости можно найти, используя теорему о среднем перпендикуляре. Эта теорема гласит, что середина отрезка, проведенного между двумя точками, лежит на перпендикуляре к этому отрезку в его середине.

Дано: отрезок AB пересекает плоскость, причем расстояния от его концов до плоскости равны 8 см и 2 см.

Пусть M - середина отрезка AB. Тогда у нас есть два перпендикуляра от M до плоскости: один из точки A и второй из точки B. По теореме о среднем перпендикуляре, эти два перпендикуляра равны. Обозначим расстояние от середины M до плоскости как h.

Тогда по условию задачи: h = 8 см - 2 см = 6 см.

Ответ: Расстояние от середины отрезка до плоскости равно 6 см.

2. Пусть P - точка, отстоящая от плоскости на расстоянии 3 см. Из P проведем две наклонные линии к плоскости, образуя углы 45 и 30 градусов. Пусть эти линии пересекают плоскость в точках X и Y соответственно.

Так как угол между наклонными линиями равен 90 градусов (прямой угол), то треугольник PXY - прямоугольный.

По теореме синусов в прямоугольном треугольнике:

$\sin(45^\circ) = \frac{PY}{3}$ и $\sin(30^\circ) = \frac{XY}{3}$.

Известные значения синусов:

$\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.

Теперь найдем значения сторон треугольника PXY:

$PY = 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ и $XY = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

Ответ: Расстояние между концами наклонных (сторона треугольника PXY) равно $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ см.

3. Дан треугольник ABC со сторонами AB = 9 см, BC = 6 см, AC = 5 см. Через сторону AC проходит плоскость M, составляющая с плоскостью треугольника угол 45 градусов.

Чтобы найти расстояние от вершины B до плоскости М, проведем перпендикуляр из вершины B к плоскости М. Обозначим точку пересечения этого перпендикуляра с плоскостью М как D.

Треугольник BCD - прямоугольный, так как плоскость М составляет с плоскостью треугольника прямой угол (по условию). Также треугольник BCD - прямоугольный, так как угол B равен 90 градусов (по свойству перпендикуляров).

Теперь найдем расстояние от B до M (BD). Используем теорему Пифагора:

$BC^2 + CD^2 = BD^2$.

По условию задачи:

$BC = 6$ см.

$CD = AC \cdot \sin(45^\circ) = 5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$ см.

Теперь рассчитаем BD:

$6^2 + \left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)^2 = BD^2$.

$36 + \frac{50}{2} = BD^2$.

$36 + 25 = BD^2$.

$61 = BD^2$.

$BD = \sqrt{61}$ см.

Ответ: Расстояние от вершины B до плоскости М равно $\sqrt{61}$ см.