Question

Знайти точку х0, в якій досягаеться найменше значення функції y = exp(x + 0,3)² на відрізку [-3; 3]. ​

Answer 1

Щоб знайти точку \((x_0, y_0)\), в якій функція \(y = \exp((x + 0.3)^2)\) досягає найменшого значення на відрізку \([-3, 3]\), спробуємо використовувати методи калькулюсу.

1. Знайдемо похідну функції:

\[y' = 2\exp((x + 0.3)^2) \cdot \exp(x + 0.3).\]

2. Вирішимо рівняння \(y' = 0\) для знаходження критичних точок:

\[2\exp((x + 0.3)^2) \cdot \exp(x + 0.3) = 0.\]

Так як експонента завжди додатня, це рівняння може дорівнювати нулю лише тоді, коли \(\exp((x + 0.3)^2) = 0\), що неможливо. Тобто, у нашому випадку, немає критичних точок.

3. Знайдемо значення \(y''\) (друга похідна) для визначення конкавності функції:

\[y'' = 2\exp((x + 0.3)^2) \cdot \exp(x + 0.3) + 2\exp((x + 0.3)^2) \cdot \exp(x + 0.3)^2.\]

Замінимо \(x\) на будь-яке значення з відрізку \([-3, 3]\), наприклад, \(x = 0\):

\[y''(0) = 2\exp(0.3^2) \cdot \exp(0.3) + 2\exp(0.3^2) \cdot \exp(0.3)^2.\]

Оскільки всі експоненти завжди додатні, \(y''(0)\) також буде додатнім. Це означає, що функція є конкавною на відрізку \([-3, 3]\).

4. Визначимо, де функція досягає екстремуму:

Оскільки функція є конкавною, ми можемо використати інформацію про знак другої похідної для визначення того, де досягається мінімум. Якщо \(y'' > 0\), то функція є конкавною вгору і, отже, точка є точкою мінімуму.

5. Оберемо значення \(x\) в межах \([-3, 3]\) для визначення точки мінімуму:

Наприклад, візьмемо \(x = -3, 0, 3\) і порівняємо значення \(y\):

\[y(-3) = \exp((-2.7)^2),\] \[y(0) = \exp((0.3)^2),\] \[y(3) = \exp((3.3)^2).\]

Знайдемо найменше значення серед цих трьох і відповідне \(x\). Це і буде шукана точка \((x_0, y_0)\).

Отже, вищеописаний підхід допоможе визначити точку, в якій функція досягає найменшого значення на заданому відрізку.