Question

Допоможіть вирішити рівняння. 10, клас. Даю 500 балів. Терміново!6sin²x+50cosx-2=0

Answer 1

Це рівняння залежить від змінної x. Давайте спробуємо розв'язати його. Щоб спростити рівняння, давайте використовувати тригонометричні ідентичності.

6sin²x + 50cosx - 2 = 0

Можна використати ідентичність sin²x + cos²x = 1:

6(1 - cos²x) + 50cosx - 2 = 0

Розкриємо дужки:

6 - 6cos²x + 50cosx - 2 = 0

Тепер маємо квадратне рівняння відносно cosx:

-6cos²x + 50cosx + 4 = 0

Давайте вирішимо це квадратне рівняння для cosx. Можна використовувати дискримінант і формулу квадратного рівняння:

D = b² - 4ac

D = (50)² - 4(-6)(4)

D = 2500 + 96

D = 2596

Тепер використаємо формулу коренів квадратного рівняння:

cosx = (-b ± √D) / (2a)

cosx = (-50 ± √2596) / (2(-6))

cosx = (-50 ± 2√649) / (-12)

cosx = (25 ± √649) / 6

Отже, розв'язками рівняння будуть:

cosx₁ = (25 + √649) / 6
cosx₂ = (25 - √649

Answer 2

Здається, вам треба вирішити квадратне рівняння відносно \( \sin x \). Однак важливо врахувати, що \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) для будь-якого кута \( x \). Використовуючи цю тотожність, ми можемо виразити \( \sin^2 x \) через \( \cos^2 x \) або навпаки.

Ваше рівняння має вигляд:

\[ 6\sin^2 x + 50\cos x - 2 = 0 \]

Перепишемо його з використанням тотожності \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \):

\[ 6(1 - \cos^2 x) + 50\cos x - 2 = 0 \]

Розкриємо дужки:

\[ 6 - 6\cos^2 x + 50\cos x - 2 = 0 \]

Помножимо на -1, щоб отримати квадратне рівняння:

\[ 6\cos^2 x - 50\cos x + 4 = 0 \]

Тепер маємо квадратне рівняння відносно \( \cos x \). Ми можемо вирішити його, використовуючи квадратне рівняння. Формула для коренів квадратного рівняння \( ax^2 + bx + c = 0 \) є:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

У нашому випадку \( a = 6 \), \( b = -50 \), і \( c = 4 \). Підставимо значення:

\[ \cos x = \frac{50 \pm \sqrt{(-50)^2 - 4(6)(4)}}{2(6)} \]

\[ \cos x = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 96}}{12} \]

\[ \cos x = \frac{50 \pm \sqrt{2404}}{12} \]

\[ \cos x = \frac{50 \pm 49}{12} \]

Отримаємо два варіанти:

1. \( \cos x = \frac{99}{12} \) 2. \( \cos x = \frac{1}{12} \)

Тепер, враховуючи, що \( \cos x = \frac{1}{\sec x} \), ми можемо отримати значення \( \sin x \) з використанням тотожності \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \). Якщо вам треба обчислити значення кута \( x \), вам слід взяти обернену тригонометричну функцію (арккосинус) від обох отриманих значень для \( \cos x \):

1. Для \( \cos x = \frac{99}{12} \), отримаємо \( x_1 = \arccos\left(\frac{99}{12}\right) \). 2. Для \( \cos x = \frac{1}{12} \), отримаємо \( x_2 = \arccos\left(\frac{1}{12}\right) \).

Оберіть той корінь, який відповідає вашому контексту або обмеженням завдання, і розрахуйте значення. Зверніть увагу, що результатом оберненої тригонометричної функції буде кут в радіанах.