Question

F(x) = x ^ 2 - 2x + 4Найдите интервал возрастания и убывания функции

Answer 1

Для определения интервалов возрастания и убывания функции \(F(x) = x^2 - 2x + 4\), нужно найти производную этой функции и исследовать знак производной на различных интервалах.

1. Найдем производную функции \(F(x)\): \(F'(x) = 2x - 2\)

2. Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю, чтобы определить критические точки, где функция может менять свой характер (возрастать, убывать, иметь экстремумы). Для этого решим уравнение \(F'(x) = 0\): \(2x - 2 = 0\) \(2x = 2\) \(x = 1\)

Таким образом, критическая точка функции \(F(x)\) равна \(x = 1\).

3. Теперь исследуем знак производной на интервалах, которые определены критической точкой \(x = 1\) и окружающими её интервалами.

3.1. Для \(x < 1\), возьмем произвольное значение \(x\), например, \(x = 0\): \(F'(0) = 2 \cdot 0 - 2 = -2\) Таким образом, на интервале \((-∞, 1)\) производная \(F'(x)\) отрицательна, что означает, что функция \(F(x)\) убывает на этом интервале.

3.2. Для \(x > 1\), возьмем произвольное значение \(x\), например, \(x = 2\): \(F'(2) = 2 \cdot 2 - 2 = 2\) Таким образом, на интервале \((1, +∞)\) производная \(F'(x)\) положительна, что означает, что функция \(F(x)\) возрастает на этом интервале.

4. Теперь осталось исследовать поведение функции в окрестности критической точки \(x = 1\). Для этого можно взять значения производной и функции в точке \(x = 1\):

\(F(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 + 4 = 1 - 2 + 4 = 3\)

Таким образом, функция \(F(x)\) принимает значение \(3\) в точке \(x = 1\).

Теперь мы можем сделать выводы о интервалах возрастания и убывания функции \(F(x)\):

- Функция \(F(x)\) убывает на интервале \((-∞, 1)\). - Функция \(F(x)\) возрастает на интервале \((1, +∞)\). - Критическая точка \(x = 1\) является точкой локального минимума функции, так как значение функции в этой точке \(F(1) = 3\) и функция убывает до \(x = 1\) и возрастает после неё.

Таким образом, мы определили интервалы возрастания и убывания функции \(F(x) = x^2 - 2x + 4\) и точку минимума функции.