Question

Вычислить объём пирамиды вершинами которого являются точки A, B, C, D; высоту, опущенную из вершины D на грань ABC и площадь грани BCD. A=(1,1,1); B=(2,4,-2); C=(2,0,2); D=(0,1,-1)​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Для знаходження об'єму піраміди, що обмежується вершинами A, B, C, і D, спочатку потрібно визначити площу грані BCD і висоту, опущену з вершини D на цю грань.

1. Знаходження площі грані BCD:

Для знаходження площі грані можна використовувати векторний аналіз. Векторами грані BCD будуть вектори, отримані відповідними векторами між точками:

Вектор AB = B - A = (2 - 1, 4 - 1, -2 - 1) = (1, 3, -3)

Вектор AC = C - A = (2 - 1, 0 - 1, 2 - 1) = (1, -1, 1)

Площа грані BCD може бути знайдена за допомогою векторного добутку цих векторів:

Площа = 1/2 * |AB x AC|,

де |AB x AC| - модуль векторного добутку AB та AC.

AB x AC = (3 * 1 - (-3) * (-1), (-3) * 1 - 1 * 1, 1 * (-3) - 3 * (-1)) = (6, -2, -2)

Тепер знайдемо модуль вектора:

|AB x AC| = √(6² + (-2)² + (-2)²) = √(36 + 4 + 4) = √44

Площа грані BCD = 1/2 * √44

2. Знаходження висоти, опущеної з вершини D:

Висота опущена з вершини D на грань BCD буде перпендикулярною до цієї грані і веде з вершини D до площі грані. Вектор, що представляє цю висоту, може бути знайдений як векторна проекція вектора AD на нормаль грані BCD. Нормаль до грані BCD можна знайти, обчисливши векторний добуток AB і AC, і потім нормалізуючи його.

Нормаль до грані BCD = (AB x AC) / |AB x AC| = (6/√44, -2/√44, -2/√44)

Векторна проекція вектора AD на нормаль до грані BCD буде висотою:

Висота = (AD · Нормаль BCD) * Нормаль BCD

AD = D - A = (0 - 1, 1 - 1, -1 - 1) = (-1, 0, -2)

Висота = (-1, 0, -2) · (6/√44, -2/√44, -2/√44) * (6/√44, -2/√44, -2/√44)

Тепер обчислімо це добуток:

Висота = (-1 * 6/√44 - 0 - 2 * (-2/√44)) * (6/√44, -2/√44, -2/√44)

Висота = (-6/√44 + 4/√44) * (6/√44, -2/√44, -2/√44)

Тепер обчислімо цей векторний добуток:

Висота = (6/√44 - 4/√44, 4/√44 - 2/√44, 4/√44 - 2/√44)

Висота = (2/√44, 2/√44, 2/√44)

Тепер знайдемо модуль цього вектора, який відповідає висоті:

Висота = √((2/√44)² + (2/√44)² + (2/√44)²) = √(4/44 + 4/44 + 4/44) = √(12/44) = √3/√11 = √(3/11)

Тепер, коли ми знайшли площу грані BCD та висоту, ми можемо обчислити об'єм піраміди за допомогою формули:

Об'єм = (1/3) * Площа грані * Висота

Об'єм = (1/3) * (1/2 * √44) * (√3/√11) = (1/6) * √44 * (√3/√11)

Об'єм = (√44/6) * (√3/√11)

Об'єм = (√(4 * 11)/6) * (√3/√11)

Об'єм = (√44/6) * (√3/√11)

Об'єм = (√(4 * 11)/6) * (√3/√11)

Об'єм = (2√11/6) * (√3/√11)

Об'єм = (2/6) * √(11 * 3) * (1/√11)

Об'єм = (√33/3) * (1/√11)

Об'єм = √(33/33)

Об'єм = √1

Об'єм = 1

Отже, об'єм піраміди дорівнює 1 кубічному од

Answer 2

Для вычисления объема пирамиды, вершинами которой являются точки a, b, c, d, нам понадобятся площадь грани bcd и высота, опущенная из вершины d на грань abc.

Для начала, найдем векторы ab, ac и ad, чтобы использовать их для вычисления площади и высоты.

Вектор ab = (2-1, 4-1, -2-1) = (1, 3, -3) Вектор ac = (2-1, 0-1, 2-1) = (1, -1, 1) Вектор ad = (0-1, 1-1, -1-1) = (-1, 0, -2)

Теперь найдем площадь грани bcd, используя векторы ab и ac. Площадь треугольника можно найти как половину векторного произведения двух сторон треугольника. Площадь грани bcd = 1/2 * |ab x ac|, где |ab x ac| - длина векторного произведения.

Таким образом, найдем площадь грани bcd: |ab x ac| = |(1, 3, -3) x (1, -1, 1)| = |(3, -6, -4)| = √(3^2 + (-6)^2 + (-4)^2) = √(9 + 36 + 16) = √61

Площадь грани bcd = 1/2 * √61

Теперь найдем высоту, опущенную из вершины d на грань abc. Для этого нам понадобится нормаль к грани abc, которая будет перпендикулярна этой грани. Найдем ее используя векторы ab и ac.

Нормаль к грани abc = ab x ac

Теперь найдем высоту, опущенную из вершины d на грань abc. Для этого мы можем использовать формулу высоты пирамиды, связанную с площадью грани и объемом:

Высота = (2 * Площадь грани bcd) / длина нормали к грани abc

Таким образом, найдем высоту: Высота = (2 * 1/2 * √61) / |ab x ac| = √61 / |ab x ac|

Теперь мы можем использовать формулу для вычисления объема пирамиды:

Объем пирамиды = (Площадь грани bcd * Высота) / 3

Таким образом, найдем объем пирамиды: Объем пирамиды = (1/2 * √61 * √61 / |ab x ac|) / 3 = √61 / (2 * 3 * |ab x ac|) = √61 / (6 * |ab x ac|)

Теперь остается только найти длину нормали к грани abc:

|ab x ac| = √(3^2 + (-6)^2 + (-4)^2) = √(9 + 36 + 16) = √61

Подставляем это значение в формулу объема:

Объем пирамиды = √61 / (6 * √61) = 1 / 6.

Таким образом, объем пирамиды с вершинами a=(1,1,1), b=(2,4,-2), c=(2,0,2), d=(0,1,-1) равен 1/6.