Question

Розв'яжіть рекурентне співвідношення за допомогою твірних функцій a_n-1 =10a_n - 9a_n-1 , a_0=0, а_1=1

Answer 1

Для розв'язання рекурентного співвідношення за допомогою твірних функцій, спочатку знайдемо характеристичне рівняння. Замінимо a_n = x^n в рівнянні:

x^n-1 = 10x^n - 9x^n-1

Розділимо обидві частини на x^n-1:

1 = 10x - 9

Після спрощення отримаємо:

x = 1

Тепер ми маємо один корінь характеристичного рівняння x = 1. Тому загальний розв'язок для рекурентного співвідношення буде виглядати наступним чином:

a_n = c1 * 1^n + c2 * n * 1^n

де c1 і c2 - це константи, які визначаються початковими умовами. У нашому випадку a_0 = 0, a_1 = 1.

Підставимо початкові умови:

0 = c1 * 1^0 + c2 * 0 * 1^0 1 = c1 * 1^1 + c2 * 1 * 1^1

Отримаємо систему рівнянь:

c1 = 0 c1 + c2 = 1

З першого рівняння отримуємо c1 = 0, а з другого рівняння отримуємо c2 = 1.

Таким чином, загальний розв'язок для рекурентного співвідношення буде:

a_n = 0 + n * 1^1 = n

Отже, рекурентне співвідношення за допомогою твірних функцій має вигляд a_n = n.