Question

допоможіть будь ласка!!! Знайдіть усі функції f : R -> R такі, що для всіх дійсних х та у виконується рівність f(x + y) + x² + y² = f(x² + y²) + x + y​

Answer 1

Ответ:

Ця функціональна рівність може бути розв'язана декількома способами, і існує багато функцій, які відповідають цій умові. Однак однією з можливих функцій є:

f(x) = x

Ця функція задовольняє умову f(x + y) + x² + y² = f(x² + y²) + x + y для всіх дійсних чисел x та y. Тобто, підставляючи цю функцію в початкове рівняння, отримаємо:

x + y + x² + y² = x + y + x² + y²

Ця функція є одним з можливих розв'язків.

Answer 2

Ответ:

Щоб знайти всі функції f: R -> R, для яких виконується рівність f(x + y) + x² + y² = f(x² + y²) + x + y, можемо розглянути різні підстановки для значень x та y.

Замінюємо x на 0:

f(y) + 0 + y² = f(y²) + 0 + y

f(y) + y² = f(y²) + y

Ця рівність повинна виконуватися для будь-якого значення y. Оскільки це має місце для будь-якого y, ми можемо припустити, що f(y) = y - c, де c - довільна константа.

Підставляємо відповідну функцію у вихідне рівняння:

f(x + y) + x² + y² = f(x² + y²) + x + y

(x + y - c) + x² + y² = (x² + y² - c) + x + y

Спрощуємо:

2x + 2y - 2c = x + y - c + x + y

2x + 2y - 2c = 2x + 2y - 2c

Отже, функції f: R -> R, для яких виконується рівність f(x + y) + x² + y² = f(x² + y²) + x + y, мають вигляд f(y) = y - c, де c - довільна константа.

Пошаговое объяснение:

Answer 3

Задача полягає в знаходженні усіх функцій \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \), для яких виконується рівність:

\[ f(x + y) + x^2 + y^2 = f(x^2 + y^2) + x + y \]

Давайте розв'яжемо цю задачу. Почнемо, підставивши \( x = y = 0 \), отримаємо:

\[ f(0) = f(0) \]

Це не дає нам багато інформації. Тепер розглянемо випадок \( y = 0 \):

\[ f(x) + x^2 = f(x^2) + x \]

Або, переписавши це рівняння:

\[ f(x) = f(x^2) + x - x^2 \]

Далі ми можемо розглядати різні значення \( x \) та спрощати вираз:

1. При \( x = 0 \): \( f(0) = 0 \) 2. При \( x = 1 \): \( f(1) = f(1) \), що нам далі не допомагає.

Тепер розглянемо випадок \( x = -1 \):

\[ f(-1) = f(1) - 2 \]

Отже, отримали вираз для \( f(-1) \) через \( f(1) \). Це означає, що функція \( f \) повинна бути такою, що \( f(-1) \) залежить від \( f(1) \).

Отже, на цьому етапі вираження функції \( f \) ще не визначено повністю, і ми можемо продовжувати досліджувати рівняння для різних значень \( x \) та \( y \), вивчаючи залежності між значеннями функції в різних точках. Це дослідження може бути складним і вимагатиме використання різних підходів для аналізу функцій.