Question

Знайдіть усі пари цілих чисел (х, у), що задовольняють рівність: х-у=х/у. Пояснити ​

Answer 1

Ответ:

3 пари

Пошаговое объяснение:

X = 0, y ==0

X=2, y= -2

X= - 2, y=2

Answer 2

Давайте розглянемо рівність \(x - y = \frac{x}{y}\) та спробуємо знайти всі можливі пари цілих чисел \((x, y)\), які задовольняють цю рівність.

Почнемо з того, що приведемо рівність до спільного знаменника:

\[ y(x - y) = x \]

Розкриємо дужки:

\[ xy - y^2 = x \]

Перенесемо все на одну сторону рівності:

\[ xy - x - y^2 = 0 \]

Тепер, ми можемо розглядати це як квадратне рівняння відносно \(x\):

\[ x^2 - x(y) - y^2 = 0 \]

Для того, щоб знайти цілі розв'язки, дискримінант повинен бути повний квадрат цілого числа. Дискримінант квадратного рівняння \(ax^2 + bx + c = 0\) обчислюється за формулою \(D = b^2 - 4ac\).

У нашому випадку, \(a = 1\), \(b = -y\), і \(c = -y^2\). Знайдемо дискримінант:

\[ D = (-y)^2 - 4(1)(-y^2) \] \[ D = y^2 + 4y^2 \] \[ D = 5y^2 \]

Тепер дискримінант повинен бути повнийм квадратом цілого числа, тобто \(D = k^2\), де \(k\) - ціле число.

\[ 5y^2 = k^2 \]

Розглянемо можливі значення \(y\), які задовольняють це рівняння:

Якщо \(y = 0\), то \(5y^2 = 0\), що задовольняє умову, і отримуємо розв'язок \(x = 0\).

Якщо \(y \neq 0\), то ми можемо поділити обидві сторони на \(y^2\):

\[ 5 = \left(\frac{k}{y}\right)^2 \]

Це означає, що \(\frac{k}{y}\) повинно бути цілим числом. Отже, ми маємо кілька можливих варіантів для \(y\):

1. Якщо \(k = 1\), то \(\frac{k}{y} = \frac{1}{y}\). Це означає, що \(y\) може дорівнювати 1, і відповідно, \(x = y + 1 = 2\).

2. Якщо \(k = -1\), то \(\frac{k}{y} = \frac{-1}{y}\). Це означає, що \(y\) може дорівнювати -1, і відповідно, \(x = y - 1 = -2\).

Отже, усі пари цілих чисел \((x, y)\), які задовольняють рівність \(x - y = \frac{x}{y}\), це \((0, 0)\), \((2, 1)\), і \((-2, -1)\).