Question

У гострокутному трикутнику ABC висоти перетинаються у точці Н. Довести, що радіуси кіл, описаних навколо трикутників ABC, АНВ, АНС, ВНС, рівні між собою

Answer 1

Покрокове пояснення:

Для доведення цього підтвердження спочатку розглянемо трикутник ABC і окреслимо його коло.

За відомим фактом, радіус описаного кола трикутника ABC позначаємо як R, і він фактично формулою:

R = a / (2 * sin(A)),

де "a" - довжина сторони BC, "A" - великий кут при вершині A.

Тепер розглянемо трикутник АНВ. Радіус описаного навколо нього кола позначаємо як R₁, і він також збільшується за подібною формулою:

R₁ = b / (2 * sin(B)),

де "b" - довжина сторони AC, "B" - великий кут при вершині B.

Аналогічно розглядаємо трикутник АНС. Радіус описаного навколо нього кола позначається як R₂:

R₂ = c / (2 * sin(C)),

де "c" - довжина сторони AB, "C" - великий кут при вершині C.

Розглядаємо також трикутник ВНС. Радіус, описаний навколо його кола, позначається як R₃:

R₃ = h₁ / (2 * sin(A)),

де "h₁" - висота, проведена до сторони BC (від вершини A).

Висота h₁ наступна як h₁ = a * sin(A).

Порівняємо значення радіусів:

R₁ = b / (2 * sin(B)), R₂ = c / (2 * sin(C)), R₃ = a * sin(A) / (2 * sin(A)).

Ми бачимо, що R₁ = b / (2 * sin(B)) = c / (2 * sin(C)) = a * sin(A) / (2 * sin(A)) = R.

Отже, радіуси опису навколо трикутників ABC, АНВ, АНС, ВНС дійсно рівні між собою.

Answer 2

Щоб довести, що радіуси кіл, описаних навколо трикутників ABC, АНВ, АНС, ВНС, рівні між собою, ми можемо скористатися властивостями гострокутних трикутників та їх висот.

Властивості гострокутних трикутників:

1. У гострокутного трикутника всі три висоти перетинаються в одній точці, яку ми позначимо як Н. 2. Висота, проведена до сторони, розділяє її на дві частини, пропорційні до суми квадратів інших двох сторін, які входять до цієї висоти.

Доведення:

1. Розглянемо трикутник ABC з висотами, які перетинаються в точці Н. 2. Опишемо коло навколо трикутника ABC і позначимо його радіус як R. 3. За властивістю 2 гострокутних трикутників, ми можемо записати наступні співвідношення: - AB^2 + AH^2 = BH^2 - AC^2 + AH^2 = CH^2 - BC^2 + BH^2 = CH^2 4. За теоремою Піфагора, ми знаємо, що в квадраті гіпотенузи прямокутного трикутника сума квадратів катетів. Оскільки трикутник ABC є гострокутним, то всі сторони є катетами, а сторона, протилежна куту BAC, є гіпотенузою. 5. Застосуємо теорему Піфагора до трикутників АНВ, АНС і ВНС: - Для трикутника АНВ: AH^2 + BH^2 = AN^2 - Для трикутника АНС: AH^2 + CH^2 = AN^2 - Для трикутника ВНС: BH^2 + CH^2 = CN^2 6. Зауважимо, що вирази AN^2, AN^2 і CN^2 є рівними, оскільки всі трикутники описані навколо кола з радіусом R. 7. Зіставимо вирази з пункту 3 з виразами з пункту 5: - AB^2 + AH^2 = AH^2 + BH^2 = AN^2 - AC^2 + AH^2 = AH^2 + CH^2 = AN^2 - BC^2 + BH^2 = BH^2 + CH^2 = CN^2 8. Отже, ми бачимо, що радіуси кіл, описаних навколо трикутників ABC, АНВ, АНС, ВНС, рівні між собою.

Таким чином, ми довели, що радіуси кіл, описаних навколо трикутників ABC, АНВ, АНС, ВНС, рівні між собою.