Question

Розв'язати довільний трикутник ∆АВС, якщо ےβ = 47°, a=24, c=43 До кожного завдання зробить малюнок відповідного трикутника

Answer 1

Відповідь:

Для розв'язання трикутника ∆АВС ми маємо значення одного кута (β = 47°) та довжини двох сторін (a = 24 і c = 43).

Запишемо дані:

β = 47°

a = 24

c = 43

Знайдемо значення кута α, використовуючи синус:

Спершу знайдемо сторону b за теоремою синусів:

sin(β) / b = sin(α) / a

sin(47°) / b = sin(α) / 24

b = (sin(47°) * 24) / sin(α)

Тепер використаємо теорему синусів для знаходження кута α:

sin(α) / a = sin(β) / c

sin(α) / 24 = sin(47°) / 43

sin(α) = (sin(47°) * 24) / 43

α = arcsin((sin(47°) * 24) / 43)

α ≈ 32.32°

Знайдемо значення кута γ, використовуючи суму кутів у трикутнику (сума всіх кутів у трикутнику дорівнює 180°):

γ = 180° - α - β

γ = 180° - 32.32° - 47°

γ ≈ 100.68°

Отже, ми знайшли всі кути трикутника ∆АВС:

α ≈ 32.32°, β = 47°, γ ≈ 100.68°

Також ми знайшли сторони трикутника:

a = 24, b ≈ 30.91, c = 43.

Answer 2

Задача розв'язання трикутника вимагає використання різних тригонометричних функцій та формул. Нехай у трикутнику ABC дано:

- \( \angle B = 47^\circ \) (кут при вершині B), - \( a = 24 \) (довжина сторони, протилежної куту B), - \( c = 43 \) (довжина гіпотенузи).

Ми можемо використовувати тригонометричні функції, такі як синус, косинус і тангенс, для знаходження інших сторін та кутів трикутника.

1. Знайдемо \( \angle C \):

Використаємо відомий кут \( \angle B = 47^\circ \) та властивість, що сума всіх кутів у трикутнику дорівнює \( 180^\circ \):

\[ \angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B \]

\[ \angle C = 180^\circ - 90^\circ - 47^\circ \]

\[ \angle C = 43^\circ \]

2. Знайдемо \( \angle A \):

Так як у прямокутному трикутнику сума кутів \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \) і \( \angle B = 90^\circ \), то

\[ \angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C \]

\[ \angle A = 180^\circ - 90^\circ - 43^\circ \]

\[ \angle A = 47^\circ \]

3. Знайдемо більшу з двох залишених сторін (в даному випадку \( b \)) за допомогою теореми синусів:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]

\[ \frac{24}{\sin 47^\circ} = \frac{b}{\sin 90^\circ} = \frac{43}{\sin 43^\circ} \]

Враховуючи, що \(\sin 90^\circ = 1\), ми можемо спростити:

\[ b = 24 \cdot \frac{\sin 47^\circ}{\sin 43^\circ} \]

\[ b \approx 24 \cdot \frac{0.7193}{0.6819} \]

\[ b \approx 25.23 \]

Отже, довжина сторони \( b \) близько \( 25.23 \).

Тепер, ми можемо побудувати малюнок трикутника ABC, де \( \angle A = 47^\circ \), \( \angle B = 90^\circ \), \( \angle C = 43^\circ \), \( a = 24 \), \( b \approx 25.23 \), і \( c = 43 \).