Question

вычислить площадь фигуры,ограниченной линиями: у=4-х^2 и у=2х+1

Answer 1

Площадь данной фигуры находится по формуле 

$\int\limits^b_a {(f(x) - g(x))} \, dx$

В данном случае

f(x) = 4 - x^2

g(x) = 2x + 1

Прямая и парабола пересекаются в точках -3 и 1. Будем искать площадь фигуры на промежутке [-3;1]. Теперь можно упросить выражение f(x) - g(x)

(4 - x^2) - (2x + 1) = 4 - x^2 - 2x - 1 = 3 - x^2 - 2x

Найдём первообразную, чтоб не переписыать потом

F(x) = F(3 - x^2 - 2x) = 3x - $3 - x^2 - 2x 3x - \frac{x^3}{3} - \frac{2x^2}{2} = 3x - \frac{x^3}{3} - x^2$

Теперь подставляем.

S = $\int\limits^1_{-3} {((4 - x^2) - (2x + 1))} \, dx = \int\limits^1_{-3} {(3 - x^2 - 2x}) \, dx = (3 * 1 - \frac{1^3}{3} - 1^2) - ( 3 * (-3) - \frac{(-3)^3}{3} - (-3)^2) = 3 - \frac{1}{3} - 1 + 9 - 9 + 9 = 2 - \frac{1}{3} + 9 = 10\frac{2}{3}$ ед^2

 

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя кривыми линиями, необходимо найти точки их пересечения и определить границы интегрирования. В данном случае, фигура ограничена линиями у = 4 - х^2 и у = 2х + 1.

Нахождение точек пересечения

Чтобы найти точки пересечения, приравняем уравнения двух линий и решим полученное уравнение:

4 - х^2 = 2х + 1

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

х^2 + 2х - 3 = 0

Теперь можем решить это квадратное уравнение. Мы можем либо факторизовать его, либо использовать квадратное уравнение. В данном случае, решим его с помощью факторизации:

(x + 3)(x - 1) = 0

Таким образом, получаем два решения:

x + 3 = 0 => x = -3 x - 1 = 0 => x = 1

Значит, точки пересечения линий у = 4 - х^2 и у = 2х + 1 - это (-3, -5) и (1, 3).

Определение границ интегрирования

Теперь, чтобы определить границы интегрирования, нужно найти уравнение, которое определяет верхнюю границу фигуры и уравнение, которое определяет нижнюю границу фигуры.

Уравнение у = 4 - х^2 представляет верхнюю границу фигуры, а уравнение у = 2х + 1 - нижнюю границу фигуры.

Вычисление площади

Площадь фигуры, ограниченной этими линиями, можно найти, интегрируя разность верхней и нижней функций от значения x, которое изменяется от точки пересечения до точки пересечения.

Таким образом, площадь фигуры можно вычислить следующим образом:

S = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx

где: - a и b - точки пересечения (-3 и 1 в данном случае) - f(x) - верхняя функция (у = 4 - х^2) - g(x) - нижняя функция (у = 2х + 1)

Теперь, подставим значения и вычислим площадь:

S = ∫[-3, 1] (4 - х^2 - (2х + 1)) dx

Выполняем вычисления:

S = ∫[-3, 1] (3 - х^2 - 2х) dx

S = ∫[-3, 1] (-х^2 - 2х + 3) dx

Для решения этого интеграла, вычислим его:

S = [(-х^3 / 3) - (х^2) + (3х)] [-3, 1]

S = [(-1/3 - 1 + 3) - (-27/3 - 9 + 9)]

S = [1/3 - 1 - 3 + 9/3 + 9 - 9]

S = 4/3 + 9/3

S = 13/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями у = 4 - х^2 и у = 2х + 1, равна 13/3 или примерно 4.33.