Question

627. 3x-y+ 2z=0, 2x+3y-52=0, x+y+z=0.​

Answer 1

Для решения системы линейных уравнений, представленной в вашем вопросе, можно воспользоваться методами алгебры. У вас есть три уравнения:

1. \(3x - y + 2z = 0\) 2. \(2x + 3y - 5z = 0\) 3. \(x + y + z = 0\)

Давайте решим эту систему шаг за шагом.

Метод уравнения матриц:

1. Запишем коэффициенты при переменных и свободные члены в матрицу:

\[ \begin{bmatrix} 3 & -1 & 2 \\ 2 & 3 & -5 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]

2. Применим элементарные преобразования строк для приведения матрицы к ступенчатому виду или каноническому виду Гаусса.

\[ \begin{bmatrix} 3 & -1 & 2 & | & 0 \\ 2 & 3 & -5 & | & 0 \\ 1 & 1 & 1 & | & 0 \end{bmatrix} \]

Вычтем из второй строки удвоенную первую и из третьей строки вычтем третью часть первой:

\[ \begin{bmatrix} 3 & -1 & 2 & | & 0 \\ 0 & 5 & -9 & | & 0 \\ 0 & 2 & -1 & | & 0 \end{bmatrix} \]

Теперь вычтем из третьей строки удвоенную вторую:

\[ \begin{bmatrix} 3 & -1 & 2 & | & 0 \\ 0 & 5 & -9 & | & 0 \\ 0 & 0 & 17 & | & 0 \end{bmatrix} \]

3. Теперь перейдем к обратному ходу Гаусса и приведению матрицы к каноническому виду:

\[ \begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & | & 0 \\ 0 & 1 & -\frac{9}{5} & | & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 \end{bmatrix} \]

4. Теперь приступим к обратному ходу Гаусса и далее к методу обратной подстановки:

\[ \begin{align*} z & = 0 \\ y - \frac{9}{5}z & = 0 \implies y = \frac{9}{5}z \\ x - \frac{1}{3}y + \frac{2}{3}z & = 0 \implies x = \frac{1}{3}y - \frac{2}{3}z \end{align*} \]

Таким образом, система имеет бесконечное множество решений, которые могут быть представлены в параметрической форме:

\[ \begin{align*} x & = \frac{1}{3}y - \frac{2}{3}z \\ y & = \frac{9}{5}z \\ z & = z \end{align*} \]

где \(y\) и \(z\) - произвольные действительные числа.