Question

Задані кординати точок А(2,-8,-2) B(7;-7;-2) C(5;-3;2) P(0;0;3)Q(1;-1;2) знайти площу ABC

Answer 1

Відповідь:

1) Вектор AB = B - A = (7-2, -7-(-8), -2-(-2)) = (5, 1, 0) Вектор AC = C - A = (5-2, -3-(-8), 2-(-2)) = (3, 5, 4)

2) Векторний добуток AB x AC = (AB.y * AC.z - AB.z * AC.y, AB.z * AC.x - AB.x * AC.z, AB.x * AC.y - AB.y * AC.x) = (14 - 05, 03 - 54, 55 - 13) = (4, -20, 22)
3) Подвоєна площа трикутника ABC = ||AB x AC|| = √(4^2 + (-20)^2 + 22^2) = √(16 + 400 + 484) = √900 = 30
4) 30 : 2 = 15 км²
Отже, площа трикутника ABC дорівнює 15 км².

Покрокове пояснення:

Площа трикутника ABC обчислюється за допомогою векторного видобутку векторів AB та AC. Вектори AB і AC можна знайти шляхом віднімання відповідних координат точок B і C від координат точки A. Потім можна обчислити векторний добуток цих двох векторів і знайти його довжину, яка дорівнюватиме підвоєній площі трикутника ABC.

Answer 2

Для нахождения площади треугольника ABC с заданными координатами точек A(2,-8,-2), B(7;-7;-2) и C(5;-3;2), мы можем использовать формулу площади треугольника, которая основана на векторном произведении.

Первым шагом в нахождении площади треугольника ABC является нахождение векторов AB и AC. Для этого мы вычитаем координаты точки A из координат точек B и C соответственно:

AB = B - A = (7,-7,-2) - (2,-8,-2) = (5,1,0) AC = C - A = (5,-3,2) - (2,-8,-2) = (3,5,4)

Затем мы вычисляем векторное произведение векторов AB и AC. Векторное произведение двух векторов даёт новый вектор, перпендикулярный плоскости, образованной этими векторами. Длина этого вектора равна площади параллелограмма, образованного векторами AB и AC. Поскольку треугольник ABC - это половина параллелограмма, площадь треугольника будет половиной от длины векторного произведения.

Таким образом, площадь треугольника ABC равна:

S = 1/2 * |AB x AC|

Для вычисления векторного произведения мы можем использовать следующую формулу:

|AB x AC| = |AB| * |AC| * sin(θ)

где |AB| и |AC| - длины векторов AB и AC соответственно, а θ - угол между векторами AB и AC.

Длина вектора AB равна:

|AB| = sqrt((5)^2 + (1)^2 + (0)^2) = sqrt(26)

Длина вектора AC равна:

|AC| = sqrt((3)^2 + (5)^2 + (4)^2) = sqrt(50)

Угол θ можно найти с помощью формулы косинуса:

cos(θ) = (AB · AC) / (|AB| * |AC|)

где AB · AC - скалярное произведение векторов AB и AC.

Скалярное произведение векторов AB и AC равно:

AB · AC = (5)(3) + (1)(5) + (0)(4) = 20

Теперь мы можем вычислить угол θ:

cos(θ) = 20 / (sqrt(26) * sqrt(50))

θ = arccos(20 / (sqrt(26) * sqrt(50)))

Зная угол θ, мы можем найти синус этого угла:

sin(θ) = sqrt(1 - cos^2(θ))

Теперь мы можем вычислить площадь треугольника ABC:

S = 1/2 * sqrt(26) * sqrt(50) * sin(θ)

Подставляя значения, полученные ранее, мы можем вычислить площадь треугольника ABC.