Question

Найдите первые четыре слагаемых в биномиальном разложении при возрастании степени х и запишите коэффициент при х²:​

Answer 1

Биномиальное разложение представляет собой разложение бинома \( (a + b)^n \) в сумму членов вида \( C_k^n \cdot a^{n-k} \cdot b^k \), где \( C_k^n \) - биномиальный коэффициент, равный \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

Чтобы найти первые четыре слагаемых в биномиальном разложении, давайте рассмотрим выражение \( (1 + x)^n \) и разложим его по формуле бинома Ньютона:

\[ (1 + x)^n = C_0^n \cdot 1^{n} \cdot x^0 + C_1^n \cdot 1^{n-1} \cdot x^1 + C_2^n \cdot 1^{n-2} \cdot x^2 + C_3^n \cdot 1^{n-3} \cdot x^3 + \ldots \]

В данном случае нам нужны первые четыре слагаемых. Подставим значения биномиальных коэффициентов:

1. \( C_0^n = \frac{n!}{0!(n-0)!} = 1 \cdot x^0 = 1 \) 2. \( C_1^n = \frac{n!}{1!(n-1)!} = n \cdot x^1 \) 3. \( C_2^n = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n \cdot (n-1)}{2} \cdot x^2 \) 4. \( C_3^n = \frac{n!}{3!(n-3)!} = \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2)}{6} \cdot x^3 \)

Теперь, чтобы найти коэффициент при \( x^2 \), рассмотрим третье слагаемое:

\[ C_2^n \cdot 1^{n-2} \cdot x^2 = \frac{n \cdot (n-1)}{2} \cdot x^2 \]

Таким образом, коэффициент при \( x^2 \) в биномиальном разложении равен \( \frac{n \cdot (n-1)}{2} \).