Question

Знайдіть найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне чисел a і b, якщо a = 2 ^ 3 * 3 ^ 2 * 5 ^ 2 i b = 2 ^ 4 * 3 * 5 .

Answer 1

Ответ:

найбільший спільний дільник (НСД) чисел a і b дорівнює 120, а найменше спільне кратне (НСК) чисел a і b дорівнює 7200.

Пошаговое объяснение:

Щоб знайти найбільший спільний дільник (НСД) і найменше спільне кратне (НСК) чисел a і b, використовують формули на основі розкладу чисел на прості множники.

Спершу розкладемо числа a і b на прості множники:

a = 2^3 * 3^2 * 5^2

b = 2^4 * 3 * 5

Тепер знайдемо НСД чисел a і b, враховуючи їх прості множники:

НСД(a, b) = 2^(min(3, 4)) * 3^(min(2, 1)) * 5^(min(2, 1))

НСД(a, b) = 2^3 * 3 * 5

НСД(a, b) = 120

Тепер знайдемо НСК чисел a і b, використовуючи їх прості множники:

НСК(a, b) = 2^(max(3, 4)) * 3^(max(2, 1)) * 5^(max(2, 1))

НСК(a, b) = 2^4 * 3^2 * 5^2

НСК(a, b) = 7200

Answer 2

Звичайно, займемося цим завданням. Щоб знайти найбільший спільний дільник (НСД) і найменше спільне кратне (НСК) чисел \(a\) і \(b\), використаємо їх факторизацію на прості множники.

Спершу розкладемо числа \(a\) і \(b\) на прості множники:

\[a = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2 = 8 \cdot 9 \cdot 25\] \[b = 2^4 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 16 \cdot 3 \cdot 5\]

Тепер, щоб знайти НСД, візьмемо мінімальні степені для кожного простого множника, які зустрічаються у факторизації чисел \(a\) і \(b\):

\[ \text{НСД}(a, b) = 2^{\min(3, 4)} \cdot 3^{\min(2, 1)} \cdot 5^{\min(2, 1)} = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30 \]

Щоб знайти НСК, беремо максимальні степені для кожного простого множника, які зустрічаються у факторизації чисел \(a\) і \(b\):

\[ \text{НСК}(a, b) = 2^{\max(3, 4)} \cdot 3^{\max(2, 1)} \cdot 5^{\max(2, 1)} = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^2 = 16 \cdot 9 \cdot 25 = 3600 \]

Отже, найбільший спільний дільник чисел \(a\) і \(b\) \(=\text{НСД}(a, b) = 30\), а найменше спільне кратне \(=\text{НСК}(a, b) = 3600\).