Question

Задані точки A, B, C . Знайти кут між векторами AB та AC і проекцію вектора 3AB − 2AC на вектор AB + AC . A(6;2;−3) , B(6;3;−2), C(7;3;−3).​

Answer 1

Для знаходження кута між векторами AB і AC, вам спершу потрібно знайти ці вектори, а потім використовувати формулу для обчислення кута між ними.

1. Знайдемо вектори AB і AC, віднявши координати точки A від координат точок B і C відповідно:

Вектор AB = B - A = (6 - 6, 3 - 2, -2 - (-3)) = (0, 1, 1)

Вектор AC = C - A = (7 - 6, 3 - 2, -3 - (-3)) = (1, 1, 0)

2. Тепер, щоб знайти кут між цими векторами, можна використовувати формулу для косинуса кута між двома векторами:

cos(θ) = (AB • AC) / (|AB| * |AC|),

де: - AB • AC - скалярний добуток векторів AB і AC, - |AB| - довжина вектора AB, - |AC| - довжина вектора AC.

Скалярний добуток векторів AB і AC: AB • AC = 0*1 + 1*1 + 1*0 = 1.

Довжина вектора AB: |AB| = √(0^2 + 1^2 + 1^2) = √(0 + 1 + 1) = √2.

Довжина вектора AC: |AC| = √(1^2 + 1^2 + 0^2) = √(1 + 1 + 0) = √2.

3. Підставимо значення в формулу для cos(θ):

cos(θ) = 1 / (√2 * √2) = 1 / 2.

4. Знайдемо кут θ, використовуючи обернену функцію косинуса (arccos):

θ = arccos(1/2) ≈ 60 градусів.

Отже, кут між векторами AB і AC приблизно дорівнює 60 градусів.

5. Тепер давайте знайдемо проекцію вектора 3AB - 2AC на вектор AB і AC.

Спочатку знайдемо вектор 3AB - 2AC:

3AB - 2AC = 3(0, 1, 1) - 2(1, 1, 0) = (0, 3, 3) - (2, 2, 0) = (-2, 1, 3).

Тепер знайдемо проекцію цього вектора на вектор AB:

Проекція (3AB - 2AC) на AB = ((3AB - 2AC) • AB) / |AB|^2.

Скалярний добуток (3AB - 2AC) і AB: (3AB - 2AC) • AB = (-2, 1, 3) • (0, 1, 1) = 1.

Довжина AB вже була розрахована як √2.

Тепер обчислимо проекцію на вектор AC:

Проекція (3AB - 2AC) на AC = ((3AB - 2AC) • AC) / |AC|^2.

Скалярний добуток (3AB - 2AC) і AC: (3AB - 2AC) • AC = (-2, 1, 3) • (1, 1, 0) = -1.

Довжина AC вже була розрахована як √2.

Тепер ми можемо обчислити проекції:

Проекція (3AB - 2AC) на AB = 1 / (2) = 0.5.

Проекція (3AB - 2AC) на AC = -1 / (2) = -0.5.

Отже, проекція вектора 3AB - 2AC на вектор AB дорівнює 0.5, а проекція на вектор AC дорівнює -0.5.