Question

IV рівень 7. Розв'язати рівняння: 3•16^X + 37 • 36^X = 26•81^х

Answer 1

Давайте спробуємо розв'язати це рівняння:

\[3 \cdot 16^x + 37 \cdot 36^x = 26 \cdot 81^x\]

Зауважте, що \(16 = 2^4\) і \(36 = 2^2 \cdot 3^2\), а \(81 = 3^4\).

Тепер підставимо ці значення:

\[3 \cdot (2^4)^x + 37 \cdot (2^2 \cdot 3^2)^x = 26 \cdot (3^4)^x\]

\[3 \cdot 2^{4x} + 37 \cdot 2^{2x} \cdot 3^{2x} = 26 \cdot 3^{4x}\]

Тепер можемо зведення подібних:

\[3 \cdot 2^{4x} + 37 \cdot 2^{2x} \cdot 3^{2x} - 26 \cdot 3^{4x} = 0\]

Наразі у нас є рівняння, яке містить як ступені \(2\), так і \(3\), що робить його складним для розв'язання в аналітичному вигляді.

Можливо, для знаходження числових наближених розв'язків вам доведеться скористатися числовими методами (наприклад, методом найменших квадратів).

Answer 2

Для розв'язання цього рівняння спочатку спробуємо спростити його, використовуючи властивості степенів.

Ми можемо представити 16 як 2^4 і 36 як 2^2 • 3^2. Таким чином, наше рівняння буде виглядати наступним чином:

3 • (2^4)^x + 37 • (2^2 • 3^2)^x = 26 • (3^4)^x

Тепер використовуючи властивості степенів, ми можемо спростити це рівняння:

3 • 2^(4x) + 37 • 2^(2x) • 3^(2x) = 26 • 3^(4x)

Тепер ми можемо використовувати властивості множення та додавання степенів, щоб об'єднати подібні терміни:

3 • 2^(4x) + 37 • 2^(2x) • 3^(2x) = 26 • 3^(4x)

Тепер ми можемо розділити обидві сторони рівняння на 3^(4x), щоб отримати:

(3 • 2^(4x) + 37 • 2^(2x)) / 3^(4x) = 26

Тепер ми можемо використати закони експонент і логарифмів, щоб розв'язати це рівняння. Але це вже виходить за межі звичайних математичних операцій.

Таким чином, розв'язок цього рівняння потребує використання більш складних методів, таких як логарифми або числові методи.