Question

Lim x → 0 (cosx - cos3x)/sin²4x​

Answer 1

Ответ:

Для решения данного предела, применим несколько тригонометрических тождеств и алгебраических преобразований:

lim x → 0 (cosx - cos3x)/sin²4x

Раскроем разность косинусов:

lim x → 0 (cosx - cos3x) = lim x → 0 cosx - lim x → 0 cos3x

Используем тригонометрическое тождество cos(3x) = 4cos³(x) - 3cos(x):

lim x → 0 (cosx - cos3x) = lim x → 0 cosx - lim x → 0 (4cos³(x) - 3cos(x))

= cos(0) - (4cos³(0) - 3cos(0))

= 1 - (4 * 1 - 3 * 1)

= 1 - (4 - 3)

= 1 - 1

= 0

Теперь рассмотрим знаменатель sin²(4x):

lim x → 0 sin²(4x) = sin²(0)

= 0

Итак, мы получили предел вида 0/0, что является неопределенным выражением.

Применим правило Лопиталя (правило де-Аламбера) для нахождения предела неопределенности 0/0:

lim x → 0 (cosx - cos3x)/sin²4x = lim x → 0 (sinx - 3sin3x)/(8xcos4x)

Вычислим пределы числителя и знаменателя отдельно:

lim x → 0 sinx - 3sin3x = 0 - 3 * 0 = 0

lim x → 0 8xcos4x = 8 * 0 = 0

Теперь мы получили предел вида 0/0 снова. Применяем правило Лопиталя второй раз:

lim x → 0 (sinx - 3sin3x)/(8xcos4x) = lim x → 0 (cosx - 9cos3x)/(8cos4x - 32xsin4x)

Вычислим пределы числителя и знаменателя отдельно:

lim x → 0 cosx - 9cos3x = 1 - 9 * 1 = -8

lim x → 0 8cos4x - 32xsin4x = 8 * 1 - 32 * 0 = 8

Итак, предел равен:

lim x → 0 (cosx - cos3x)/sin²4x = -8/8 = -1

Таким образом, предел функции равен -1 при x стремящемся к 0.

Answer 2

Чтобы вычислить предел данного выражения, воспользуемся формулой тригонометрии:

cos(a) - cos(b) = -2 * sin((a+b)/2) * sin((a-b)/2)

В нашем случае, a = x, b = 3x, поэтому:

cos(x) - cos(3x) = -2 * sin((x + 3x)/2) * sin((x - 3x)/2) = -2 * sin(2x/2) * sin((-2x)/2) = -2 * sin(x) * sin(-x/2) = 2 * sin(x) * sin(x/2)

Теперь заменим исходное выражение:

lim(x → 0) (cos(x) - cos(3x))/sin^2(4x) = lim(x → 0) (2 * sin(x) * sin(x/2))/sin^2(4x) = lim(x → 0) (sin(x) * sin(x/2))/(sin(4x))^2

Теперь разложим и отдельно рассмотрим знаменатель и числитель:

Знаменатель: lim(x → 0) (sin(4x))^2 Заметим, что здесь мы имеем синус квадрата, для которого верно следующее: (sin(a))^2 = (1 - cos(2a))/2

Тогда: lim(x → 0) (sin(4x))^2 = lim(x → 0) (1 - cos(8x))/2 = (1 - cos(0))/2 = 0

Числитель: lim(x → 0) (sin(x) * sin(x/2)) Здесь у нас есть произведение синусов. Зная следующую формулу: sin(a) * sin(b) = (cos(a - b) - cos(a + b))/2

Подставляя значения a = x, b = x/2, получим: lim(x → 0) (sin(x) * sin(x/2)) = lim(x → 0) (cos(x - x/2) - cos(x + x/2))/2 = lim(x → 0) (cos(x/2) - cos(3x/2))/2 = (cos(0) - cos(0))/2 = 0

Таким образом, числитель и знаменатель стремятся к нулю, поэтому исходное выражение имеет предел равный 0.