Question

6. Найти общее решение неоднородной системы А·X=В, где A=(1 2 3 ) B=(1) 2 4 -1 -3

Answer 1

Для того чтобы найти общее решение неоднородной системы уравнений A·X=В, где A=(1 2 3) и B=(1 2 4), сначала нужно найти фундаментальную систему решений однородной системы уравнений A·X=0, где 0 - нулевой вектор.

Для этого составим расширенную матрицу системы:

1 2 3 | 0

Применим элементарные преобразования строк, чтобы привести матрицу к ступенчатому виду:

1 2 3 | 0
0 0 -1 | 0

Теперь перепишем систему в виде уравнений:

x + 2y + 3z = 0
0 = 0

Из второго уравнения мы видим, что переменная z является свободной переменной. Выразим остальные переменные через неё:

x = -2y - 3z
y = t, где t - произвольная константа
z = s, где s - произвольная константа

Таким образом, фундаментальная система решений однородной системы уравнений A·X=0 имеет вид:

X = (-2y - 3z, y, z) = (-2t - 3s, t, s), где t, s - произвольные константы

Теперь перейдем к решению неоднородной системы уравнений A·X=В. Для этого найдем одно частное решение неоднородной системы.

Заметим, что матрица A является невырожденной, поэтому система A·X=В имеет ровно одно решение.

Для нахождения этого решения можно использовать метод обратной матрицы или метод Гаусса-Жордана. Применим метод Гаусса-Жордана к расширенной матрице системы:

1 2 3 | 1
0 0 -1 | 2

Применим элементарные преобразования строк, чтобы привести матрицу к ступенчатому виду:

1 2 3 | 1
0 0 -1 | 2

Применим элементарные преобразования строк, чтобы привести матрицу к улучшенному ступенчатому виду:

1 2 0 | -2
0 0 1 | -2

Теперь перепишем систему в виде уравнений:

x + 2y = -2
z = -2

Из второго уравнения мы находим значение переменной z. Подставим это значение в первое уравнение и найдем значения переменных x и y:

x + 2y = -2
-2 + 2y = -2
2y = 0
y = 0

x = -2 - 2(0)
x = -2

Таким образом, одно частное решение неоднородной системы уравнений A·X=В имеет вид:

X0 = (-2, 0, -2)

Теперь можем записать общее решение неоднородной системы уравнений A·X=В:

X = X0 + Xh = (-2, 0, -2) + (-2t - 3s, t, s) = (-2 - 2t - 3s, t, s), где t, s - произвольные константы

Таким образом, общее решение неоднородной системы уравнений A·X=В имеет вид:

X = (-2 - 2t - 3s, t, s), где t, s - произвольные константы

Это и есть искомое общее решение неоднородной системы уравнений A·X=В.