Question

Найдите все натуральные n, для которых 2n^2 - n - 36 - квадрат простого числа.

Answer 1

Ответ: 5, 13.

Объяснение:

$2n^{2}-n-36 = p^{2}$; n — натуральное число, p — простое число.

Преобразуем левую часть равенства, разложив квадратный трехчлен на множители по формуле $ax^2+bx+c=a (x-x_1)(x-x_2)$, где x₁ и x₂ — корни квадратного уравнения.

Для этого найдем корни:

$D= b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot2\cdot(-36)=289;\\n_1=\frac{-b+\sqrt{D} }{2a}=\frac{1+17 }{2\cdot2}= 4.5;\\n_2=\frac{-b-\sqrt{D} }{2a}=\frac{1-17 }{2\cdot2}= -4.$

Отсюда имеем:

$2(n-4,5)(n+4)=p^{2} .$

"Внесем" число 2 в первую скобку:

$(2n-9)(n+4)=p^{2} .$

Число во второй скобке явно натуральное, потому что n может быть минимально единицей, а значит во вторых скобках стоит минимум 5.

Значит, и в первой скобке число натуральное, потому что иначе квадрата простого числа не получится.

Чтобы произведение двух натуральных чисел равнялось квадрату простого числа, или один из множителей должен быть равен 1, или множители должны быть равны друг другу. Потому что, к примеру 289 можно получить только при умножении 289 на 1 или при умножении 17 на 17, иных делителей у этого числа нет, так как это квадрат простого числа.

• Предположим, один из множителей равен 1. Это может быть только первый множитель, потому что n+4 равно минимум 5.

Приравняем первый множитель к единице:

$2n-9=1;\\2n=10;\\n=5.$

• Предположим, множители равны друг другу:

$2n-9=n+4;\\2n-n=4+9\\n=13.$

Значит, все натуральные n, для которых $2n^{2}-n-36$ квадрат простого числа, это n = 5 и n = 13.

Answer 2

Для начала, рассмотрим уравнение 2n^2 - n - 36 = p^2, где p - простое число.

Выберем некоторое простое число p. Тогда у нас есть уравнение 2n^2 - n - 36 = p^2. Перенесем все слагаемые в левую часть и получим уравнение 2n^2 - n - 36 - p^2 = 0.

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта. Дискриминант D для нашего уравнения будет равен: D = (-1)^2 - 4 * 2 * (-36 - p^2) = 1 + 288 + 8p^2.

Чтобы дискриминант был положительным, необходимо, чтобы выражение 1 + 288 + 8p^2 было положительным. Заметим, что выражение 1 + 288 + 8p^2 = 289 + 8p^2 = (17 + 2p)(17 - 2p). Таким образом, необходимо, чтобы простое число p было таким, что (17 + 2p)(17 - 2p) > 0.

Рассмотрим все возможные случаи: 1) Если 17 + 2p > 0 и 17 - 2p > 0, то п > -17/2 и p < 17/2. Так как p - простое, то возможными значениями p будут: p = 2, 3, 5, 7, 11, 13. 2) Если 17 + 2p < 0 и 17 - 2p < 0, то p > 17/2 и p < -17/2. Но это невозможно, так как натуральные числа p не могут быть отрицательными. 3) Если 17 + 2p > 0 и 17 - 2p < 0, то p > 17/2 и p > -17/2. В этом случае простое число p может быть любым натуральным числом, большим 17/2. 4) Если 17 + 2p < 0 и 17 - 2p > 0, то p < -17/2 и p < 17/2. Но это невозможно, так как натуральные числа p не могут быть отрицательными.

Таким образом, возможные значения простого числа p для данного уравнения будут: p = 2, 3, 5, 7, 11, 13.

Теперь, найдем все натуральные значения n, для которых 2n^2 - n - 36 является квадратом простого числа.

Подставим каждое из найденных значений для p в уравнение 2n^2 - n - 36 = p^2 и попробуем найти все натуральные значения n.

1) Для p = 2: 2n^2 - n - 36 = 2^2, 2n^2 - n - 36 = 4. Решим это уравнение с помощью дискриминанта: D = (-1)^2 - 4 * 2 * (-36 - 4) = 1 + 8 * 40 = 321. Так как дискриминант D не является квадратом, то у этого уравнения нет натуральных решений при p = 2.

2) Для p = 3: 2n^2 - n - 36 = 3^2, 2n^2 - n - 36 = 9. Решим это уравнение с помощью дискриминанта: D = (-1)^2 - 4 * 2 * (-36 - 9) = 1 + 8 * 45 = 361. Дискриминант D является квадратом (19^2), значит, есть одно натуральное решение: n = (1 + 19) / (2 * 2) = 20 / 4 = 5.

3) Для p = 5: 2n^2 - n - 36 = 5^2, 2n^2 - n - 36 = 25. Решим это уравнение с помощью дискриминанта: D = (-1)^2 - 4 * 2 * (-36 - 25) = 1 + 8 * 61 = 489. Так как дискриминант D не является квадратом, то у этого уравнения нет натуральных решений при p = 5.

4) Для p = 7: 2n^2 - n - 36 = 7^2, 2n^2 - n - 36 = 49. Решим это уравнение с помощью дискриминанта: D = (-1)^2 - 4 * 2 * (-36 - 49) = 1 + 8 * 85 = 681. Так как дискриминант D не является квадратом, то у этого уравнения нет натуральных решений при p = 7.

5) Для p = 11: 2n^2 - n - 36 = 11^2, 2n^2 - n - 36 = 121. Решим это уравнение с помощью дискриминанта: D = (-1)^2 - 4 * 2 * (-36 - 121) = 1 + 8 * 157 = 1257. Так как дискриминант D не является квадратом, то у этого уравнения нет натуральных решений при p = 11.

6) Для p = 13: 2n^2 - n - 36 = 13^2, 2n^2 - n - 36 = 169. Решим это уравнение с помощью дискриминанта: D = (-1)^2 - 4 * 2 * (-36 - 169) = 1 + 8 * 205 = 1641. Так как дискриминант D не является квадратом, то у этого уравнения нет натуральных решений при p = 13.

Таким образом, натуральное число n, для которого 2n^2 - n - 36 является квадратом простого числа, только одно: n = 5.