Question

5. На дискотеке и юношей танцевали си девушками. В каждой паре юноша был выше девушки, но не более, чем на 10 см. Докажите, что если поставить танцевать самого высокого юношу с самой высокой девушкой, второго по росту – со второй, и т.д., то по прежнему в каждой паре юноша будет выше девушки и опять же не более, чем на 10 см.​

Answer 1

Ответ:

Вот один из возможных примеров. На балу было 10 девушек и 10 юношей (дадим им номера 1, 2, ..., 10). Красота девушек росла с ростом номера. Девушка №10 была глупее всех, а ум остальных возрастал от первой девушки до девятой. В первом танце пары были составлены из девушек и юношей с одинаковыми номерами. Во втором танце юноша №1 танцевал с девушкой №2, юноша №2 – с девушкой №3, ..., юноша №9 – с девушкой №10, юноша №10 – с девушкой №1.

Таким образом, каждый юноша с первого по восьмого танцевал во втором танце с девушкой одновременно более умной и более красивой, чем в первом танце, девятый юноша получил девушку более красивую, а десятый – более умную, чем в первом танце.

Answer 2

Задача

Доказать, что если на дискотеке юноша в каждой паре выше девушки, но не более, чем на 10 см, то если поставить танцевать самого высокого юношу с самой высокой девушкой, второго по росту – со второй, и так далее, то по-прежнему в каждой паре юноша будет выше девушки и опять же не более, чем на 10 см.

Решение

Для доказательства данного утверждения, рассмотрим следующую ситуацию:

1. Пусть у нас есть n пар юноша-девушка, где n - количество пар на дискотеке. 2. Пусть h1, h2, ..., hn - росты юношей, а d1, d2, ..., dn - росты девушек. 3. По условию, в каждой паре юноша выше девушки, но не более, чем на 10 см. Формально это можно записать как: hi >= di для всех i от 1 до n.

Теперь рассмотрим ситуацию, когда мы ставим танцевать самого высокого юношу с самой высокой девушкой, второго по росту – со второй, и так далее.

1. Пусть hmax - рост самого высокого юноши, а dmax - рост самой высокой девушки. 2. По условию, hmax >= dmax. 3. Теперь рассмотрим вторую пару: h2 - рост второго по росту юноши и d2 - рост второй по росту девушки. По условию, h2 >= d2. 4. Таким образом, мы можем утверждать, что в каждой паре юноша будет выше девушки и опять же не более, чем на 10 см.

Таким образом, мы доказали, что если на дискотеке юноша в каждой паре выше девушки, но не более, чем на 10 см, то если поставить танцевать самого высокого юношу с самой высокой девушкой, второго по росту – со второй, и так далее, то по-прежнему в каждой паре юноша будет выше девушки и опять же не более, чем на 10 см.

Примечание: Данное доказательство основано на предположении, что росты юношей и девушек являются числами, и их сравнение осуществляется по числовому значению. Если в задаче имеется в виду сравнение ростов по другому критерию, то доказательство может быть иным.