Question

Найдите с помощью уравнений и неравенств область определения, нули, область положительности и область отрицательности функции. Y=4x-x^2=?

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Решение дано на фото.

Answer 2

Для того чтобы найти область определения, нули, область положительности и область отрицательности функции \(y = 4x - x^2\), давайте разберемся с каждым этапом по очереди:

1. Область определения (Domain): Область определения функции - это множество всех допустимых значений переменной \(x\), для которых функция имеет смысл. В данном случае, уравнение \(y = 4x - x^2\) является квадратичной функцией, и оно имеет смысл для всех действительных чисел \(x\). Таким образом, область определения этой функции - это множество всех действительных чисел \(\mathbb{R}\).

2. Нули функции (Zeros): Нули функции - это значения переменной \(x\), при которых функция принимает значение 0. Чтобы найти нули функции \(y = 4x - x^2\), мы должны решить уравнение: \[4x - x^2 = 0\]

Для нахождения нулей функции \(y = 4x - x^2\), можно факторизовать уравнение: \[x(4 - x) = 0\]

Теперь у нас есть два случая: a) \(x = 0\) b) \(4 - x = 0\), что приводит к \(x = 4\)

Таким образом, нули функции \(y = 4x - x^2\) равны \(x = 0\) и \(x = 4\).

3. Область положительности и область отрицательности (Range): Для определения области положительности и области отрицательности функции, мы можем проанализировать знак выражения \(4x - x^2\). Мы знаем, что у функции есть нули при \(x = 0\) и \(x = 4\). Мы можем построить таблицу знаков:

- Если \(x < 0\), то оба члена \(4x\) и \(x^2\) отрицательны, поэтому \(4x - x^2 > 0\). Это означает, что функция положительна при \(x < 0\). - Если \(0 < x < 4\), то \(4x\) положительно, а \(x^2\) также положительно, поэтому \(4x - x^2\) положительно. Функция положительна при \(0 < x < 4\). - Если \(x > 4\), то \(4x\) положительно, но \(x^2\) отрицательно, поэтому \(4x - x^2 > 0\). Функция положительна при \(x > 4\).

Таким образом, область положительности функции \(y = 4x - x^2\) - это интервалы \((-\infty, 0)\) и \((0, 4)\), а область отрицательности - это интервал \((4, +\infty)\).

Итак, область определения функции - это \(\mathbb{R}\), нули функции - это \(x = 0\) и \(x = 4\), область положительности - \((-\infty, 0)\) и \((0, 4)\), область отрицательности - \((4, +\infty)\).