Question

Для функции у=2x^2+4x-3 область определения, множество значений, нули функции, область положительности и отрицательности.

Answer 1

Давайте рассмотрим функцию y = 2x^2 + 4x - 3 шаг за шагом:

1. Область определения: Функция y = 2x^2 + 4x - 3 определена для всех действительных чисел x. То есть, область определения функции - это множество всех действительных чисел: D(y) = (-∞, +∞).

2. Множество значений: Чтобы найти множество значений функции, давайте рассмотрим, какие значения может принимать y. Функция является параболой, которая открывается вверх, и её вершина будет самой нижней точкой параболы. Минимальное значение функции будет равно значению y в вершине параболы. Чтобы найти вершину, используем формулу вершины параболы: x = -b/(2a), где a = 2, b = 4.

   x = -4/(2*2) = -1.

   Теперь, подставим x = -1 в функцию, чтобы найти y:

   y = 2*(-1)^2 + 4*(-1) - 3 = 2 - 4 - 3 = -5.

   Значит, минимальное значение функции равно -5, и множество значений функции y = 2x^2 + 4x - 3 - это (-5, +∞).

3. Нули функции: Чтобы найти нули функции (x, при которых y = 0), решим уравнение 2x^2 + 4x - 3 = 0. Мы можем использовать квадратное уравнение или метод полного квадрата. В данном случае, воспользуемся квадратным уравнением:

   2x^2 + 4x - 3 = 0.

   Для решения используем квадратное уравнение: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a).

   a = 2, b = 4, c = -3.

   x = (-4 ± √(4^2 - 42(-3))) / (2*2)

   x = (-4 ± √(16 + 24)) / 4

   x = (-4 ± √40) / 4

   x = (-4 ± 2√10) / 4

   Упростим дробь:

   x = (-2 ± √10) / 2.

   Таким образом, у функции есть два нуля: x₁ = (-2 + √10)/2 и x₂ = (-2 - √10)/2.

4. Область положительности и отрицательности: Функция y = 2x^2 + 4x - 3 имеет положительные значения в тех интервалах, где y > 0, и отрицательные значения в интервалах, где y < 0. Мы уже выяснили, что минимальное значение функции -5, и множество значений функции начинается с -5 и уходит в бесконечность в положительном направлении. То есть, область положительности функции - это (0, +∞), а область отрицательности - это (-∞, 0).

Итак, область определения функции - (-∞, +∞), множество значений - (-5, +∞), нули функции - x₁ = (-2 + √10)/2 и x₂ = (-2 - √10)/2, область положительности - (0, +∞), область отрицательности - (-∞, 0).