Question

Решите уравнение sin2x+cosx=1

Answer 1

Sin²x=1-cos²x,
1-cos²x+cosx=1,
cosx-cos²x=0,
cosx·(1-cosx)=0,
cosx=0  x=π/2+πk,k∈Z
1-cosx=0, cosx=1,x=2πn,n∈Z

Ответ. π/2+πk, 2πn, k,n∈Z

Answer 2

Для решения уравнения sin(2x) + cos(x) = 1, мы должны найти значения угла x, при которых это уравнение выполняется. Давайте решим его пошагово.

Шаг 1: Приведение уравнения к виду, содержащему только одну тригонометрическую функцию.

Для этого воспользуемся тригонометрическими тождествами. Заметим, что sin(2x) = 2sin(x)cos(x). Заменим sin(2x) в уравнении:

2sin(x)cos(x) + cos(x) = 1.

Шаг 2: Объединение подобных слагаемых.

Мы видим, что у нас есть два слагаемых, содержащих cos(x), поэтому объединим их:

(2sin(x) + 1)cos(x) = 1.

Шаг 3: Разделение на cos(x).

Чтобы избавиться от cos(x) в уравнении, разделим обе части уравнения на cos(x):

2sin(x) + 1 = 1/cos(x).

Шаг 4: Использование основного тригонометрического тождества.

Основное тригонометрическое тождество гласит: sec(x) = 1/cos(x). Используем это тождество, чтобы заменить 1/cos(x) в уравнении:

2sin(x) + 1 = sec(x).

Шаг 5: Приведение уравнения к виду синуса или косинуса.

Мы можем заметить, что sec(x) = 1/cos(x) = cos(x)^(-1). Используем это для приведения уравнения к виду синуса или косинуса. Умножим обе части уравнения на cos(x):

2sin(x)cos(x) + cos(x) = cos(x).

Шаг 6: Применение тригонометрического тождества sin(2x).

Мы можем заметить, что sin(2x) = 2sin(x)cos(x). Заменим sin(2x) в уравнении:

sin(2x) + cos(x) = cos(x).

Шаг 7: Объединение подобных слагаемых.

Объединим слагаемые, содержащие cos(x):

sin(2x) = 0.

Шаг 8: Решение уравнения sin(2x) = 0.

Уравнение sin(2x) = 0 имеет решения при значениях x, для которых sin(2x) равен 0. Это происходит, когда 2x является кратным числом π:

2x = nπ, где n - целое число.

Шаг 9: Нахождение x.

Для нахождения x, делим обе части уравнения на 2:

x = nπ/2, где n - целое число.

Таким образом, решения уравнения sin(2x) + cos(x) = 1 имеют вид x = nπ/2, где n - целое число. Это является общим решением данного уравнения.