Question

Проверьте верность неравенств НОД (32; 48)×НОК (32; 48)=32×48. Покажите верность этого равенства для других натуральных чисел.

Answer 1

Ответ:

Разложим на простые множители 32

32 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2

Разложим на простые множители 48

48 = 2 • 2 • 2 • 2 • 3

Выберем одинаковые простые множители в обоих числах.

2 , 2 , 2 , 2

Находим произведение одинаковых простых множителей и записываем ответ

НОД (32; 48) = 2 • 2 • 2 • 2 = 16

Answer 2

Для проверки верности данного равенства, нам необходимо рассмотреть некоторые свойства НОД (наибольшего общего делителя) и НОК (наименьшего общего кратного) натуральных чисел.

Свойства НОД: 1. НОД(a, b) = НОД(b, a) - НОД коммутативен. 2. Если a делится на b (a кратно b), то НОД(a, b) = b. 3. Если a не делится на b (a и b взаимно просты), то НОД(a, b) = 1. 4. НОД(a, 1) = 1.

Свойства НОК: 1. НОК(a, b) = НОК(b, a) - НОК коммутативен. 2. Если a делится на b (a кратно b), то НОК(a, b) = a. 3. Если a не делится на b (a и b взаимно просты), то НОК(a, b) = a * b. 4. НОК(a, 1) = a.

Расчет НОД(32, 48):

Для нахождения НОД(32, 48) можно воспользоваться алгоритмом Евклида. Делаем следующие шаги: 1. Делим 48 на 32 и получаем остаток 16. 2. Делим 32 на 16 и получаем остаток 0. 3. Так как остаток равен 0, то последнее ненулевое число, которое получили, это и есть НОД(32, 48). В данном случае, НОД(32, 48) = 16.

Расчет НОК(32, 48):

Для нахождения НОК(32, 48) можно воспользоваться формулой: НОК(a, b) = (a * b) / НОД(a, b). В данном случае, НОК(32, 48) = (32 * 48) / НОД(32, 48) = (32 * 48) / 16 = 96.

Проверка равенства:

Теперь мы можем подставить значения НОД(32, 48) и НОК(32, 48) в исходное равенство и проверить его верность:

НОД(32, 48) * НОК(32, 48) = 16 * 96 = 1536.

Таким образом, исходное равенство НОД(32, 48) * НОК(32, 48) = 32 * 48 верно и равно 1536.

Проверка для других натуральных чисел:

Мы можем использовать те же самые шаги и свойства НОД и НОК для проверки верности данного равенства для других натуральных чисел. Например, рассмотрим НОД(12, 18) и НОК(12, 18):

НОД(12, 18) = 6 (находим по алгоритму Евклида) НОК(12, 18) = 36 (по формуле НОК = (a * b) / НОД(a, b))

Подставим значения в равенство:

НОД(12, 18) * НОК(12, 18) = 6 * 36 = 216

И таким образом, равенство НОД(12, 18) * НОК(12, 18) = 12 * 18 = 216 верно и равно 216.

Мы можем продолжать проверять данное равенство для других натуральных чисел и получать подтверждение его верности.