Question

Для пар целых чисел (a,b) таких, что a=239,1≤b<239, верно ли, что φ(ab)=φ(a)φ(b), где φ — функция Эйлера?

Answer 1

Ответ:

да

Пошаговое объяснение:

φ(ab)=φ(a)φ(b) - равенство верно, только в том случае, если а и b - взаимно простые числа, то есть НОД(a,b)=1

а=239 - простое число, значит оно будет взаимно простым с любым b, где 1≤b<239

Answer 2

Для ответа на этот вопрос разберемся сначала, что такое функция Эйлера (φ).

Функция Эйлера (φ) для натурального числа n - это количество чисел меньших n и взаимно простых с n. То есть, φ(n) - это количество чисел от 1 до n-1, которые не имеют общих делителей с n, кроме 1.

Теперь, применим это определение к нашему случаю. У нас даны числа a = 239 и 1 ≤ b < 239. Нам нужно проверить, верно ли, что φ(ab) = φ(a)φ(b).

φ(a) = количество чисел от 1 до 239-1 (238), которые не имеют общих делителей с 239. Так как 239 - простое число, то все числа от 1 до 238, кроме самого 239, не имеют общих делителей с ним. Поэтому φ(a) = 238.

φ(b) = количество чисел от 1 до b-1, которые не имеют общих делителей с b. Так как b < 239, то φ(b) будет меньше, чем φ(a).

Теперь рассмотрим φ(ab): φ(ab) = количество чисел от 1 до ab-1, которые не имеют общих делителей с ab. ab = 239b. Так же, как в предыдущем случае, φ(ab) будет меньше, чем φ(a).

Таким образом, φ(ab) ≠ φ(a)φ(b) для заданных пар (a,b), поскольку φ(a) > φ(b) > φ(ab). Ответ: нет, верное равенство не выполняется.