Question

Найдите 4−1(mod11) . (4 в минус 1 степени)

Answer 1

Ответ:

3

Объяснение:

Вспомним теорему Эйлера в теории чисел:

Если  $HOD(a, p) = 1$, то $a^{\varphi(p)-1}\overset{p}{\equiv}1$, где $\varphi(n)$ - число чисел от 1 до n-1 взаимно простых с n

Тогда:

$4^{-1}\overset{11}{\equiv}4^{\varphi(11)-1}\overset{11}{\equiv}4^{10-1}\overset{11}{\equiv}4^9\overset{11}{\equiv}3$

Answer 2

Для решения выражения \(4 - 1 \mod{11}\), начнем с вычисления \(4 - 1\), что равно 3. Затем мы найдем остаток от деления 3 на 11, используя операцию модуля:

\[3 \mod{11} = 3.\]

Теперь рассмотрим выражение \(4^{-1} \mod{11}\), где \(4^{-1}\) обозначает мультипликативную обратную величину для 4 в модульной арифметике по модулю 11. Это число, которое удовлетворяет условию \(4 \times 4^{-1} \equiv 1 \mod{11}\).

Для нахождения мультипликативной обратной для 4, мы можем использовать расширенный алгоритм Евклида или просто попробовать все возможные числа от 1 до 10:

\[4 \times 1 \mod{11} = 4,\] \[4 \times 2 \mod{11} = 8,\] \[4 \times 3 \mod{11} = 1,\] \[4 \times 4 \mod{11} = 5,\] \[4 \times 5 \mod{11} = 9,\] \[4 \times 6 \mod{11} = 2,\] \[4 \times 7 \mod{11} = 6,\] \[4 \times 8 \mod{11} = 10,\] \[4 \times 9 \mod{11} = 3,\] \[4 \times 10 \mod{11} = 7.\]

Таким образом, мультипликативная обратная для 4 в модульной арифметике по модулю 11 - это 3, так как \(4 \times 3 \equiv 1 \mod{11}\).

Теперь у нас есть два вычисленных значения: \(3\) и \(3\). Сложим их:

\[3 + 3 \mod{11} = 6 \mod{11} = 6.\]

Таким образом, \(4 - 1 \mod{11} + (4^{-1})^1 = 6\).