Question

При каком значении параметра a множество решений неравенства (x-2)(x-4)(x-a)>0 является одним промежутком? Если таких значений несколько, то укажите их сумму.

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

$(x-2)(x-4)(x-a)>0$

Решим параметр в координатах (x; a). Для этого строим прямые x=2, x=4 и a=x. Далее просчитаем знаки в образовавшихся областях (можно применить правило, что через точку знаки сохраняются). Получим то, что показано в прикрепленном файле. Теперь будем двигать горизонтальную прямую до тех пор, пока не добьемся интересующего нас случая (красная линия). Этот случай достигается, когда горизонтальная прямая проходит через точку пересечения прямых x=2 и a=x, то есть искомая координата (2; 2). Получили, что при a=2 множество решений исходного неравенства является одним промежутком.

Задание выполнено!

Answer 2

Чтобы определить, при каком значении параметра "a" множество решений неравенства \((x-2)(x-4)(x-a) > 0\) является одним промежутком, давайте рассмотрим эту задачу с использованием метода интервалов.

Для начала, найдем корни уравнения \((x-2)(x-4)(x-a) = 0\). Это уравнение будет иметь три корня, соответствующих значениям "a", которые разбивают весь вещественный интервал на четыре части. Эти корни можно найти, приравняв каждый множитель к нулю:

1. \(x - 2 = 0\) дает \(x_1 = 2\). 2. \(x - 4 = 0\) дает \(x_2 = 4\). 3. \(x - a = 0\) дает \(x_3 = a\).

Теперь у нас есть три корня: 2, 4 и "a". Эти корни делят весь вещественный интервал на четыре части:

1. \((-\infty, 2)\) 2. \((2, 4)\) 3. \((4, a)\) 4. \((a, +\infty)\)

Теперь давайте анализировать знак выражения \((x-2)(x-4)(x-a)\) в каждом из этих интервалов, чтобы определить, когда оно больше нуля.

1. В интервале \((-\infty, 2)\) все множители положительны, так как \(2 - x\), \(4 - x\) и \(a - x\) все отрицательны. Поэтому произведение положительно в этом интервале.

2. В интервале \((2, 4)\) первый множитель отрицателен (\(2 - x < 0\)), второй положителен (\(4 - x > 0\)), и третий множитель положителен, если \(a > 4\). Поэтому произведение положительно только если \(a > 4\) в этом интервале.

3. В интервале \((4, a)\) оба первых множителя положительны, но третий множитель будет отрицательным, так как \(a - x < 0\). Поэтому произведение отрицательно в этом интервале.

4. В интервале \((a, +\infty)\) все множители отрицательны, так как \(2 - x\), \(4 - x\) и \(a - x\) все больше нуля. Поэтому произведение положительно в этом интервале.

Таким образом, множество решений неравенства \((x-2)(x-4)(x-a) > 0\) будет одним промежутком только в том случае, если \(a > 4\), и этот промежуток будет \((4, +\infty)\).