Question

Знайдіть найбільше і найменше значення функції f на вказаному проміжку 1) f(x)=x³-3x, [-2;0];2)f(x)=4x/x²+1, [-2;4].​

Answer 1

Ответ:

Ищем производную первого порядка, анализируем монотонность функции. Ищем значения от -2 и 0, а также от минимума или максимума, который входит в этот промежуток.

Пошаговое объяснение:

f'(x)=4x³-4x+0

f'(x)=4x(x²-1)

4x(x²-1)≥0

Ищем корни:

x=0 и x²=1 ⇒ x= +1 | -1

Рисуем координатную прямую , с помощью метода интервалов устанавливаем знаки. На промежутке от минус бесконечности до -1 функция спадает, а от -1 до 0 возрастает. х = 1 есть минимум.(Там , где будет минус- функция спадает, а там, где плюс - возрастает)

Находим значения в точках(Подставляем в самое первое уравнение) -2, 0, -1 :

f(-2)=16-8+2=10 - МАКСИМАЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ

f(0)=0-0+2=2

f(-1)=1-2+2=1 -МИНИМАЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ

Answer 2

Щоб знайти найбільше та найменше значення функції \(f\) на вказаному проміжку, нам потрібно:

1. Знайти критичні точки функції \(f\) всередині вказаного проміжку. 2. Оцінити значення функції \(f\) в цих критичних точках та на кінцях проміжку.

Давайте почнемо з першого варіанту:

1) \(f(x) = x^3 - 3x\), проміжок \([-2, 0]\).

Для знаходження критичних точок спочатку знайдемо похідну \(f'(x)\) та розв'яжемо рівняння \(f'(x) = 0\):

\[f'(x) = 3x^2 - 3\]

Розв'язавши \(3x^2 - 3 = 0\), отримаємо критичні точки:

\[x = \pm 1\]

Тепер оцінимо значення функції \(f(x)\) в цих точках та на кінцях проміжку:

- \(f(-2) = (-2)^3 - 3(-2) = -8 + 6 = -2\) - \(f(0) = 0^3 - 3 \cdot 0 = 0\) - \(f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1 = -2\)

Найменше значення функції \(f\) на проміжку \([-2, 0]\) дорівнює -2 (досягається при \(x = -2\)), а найбільше значення дорівнює 0 (досягається при \(x = 0\)).

2) \(f(x) = \frac{4x}{x^2 + 1}\), проміжок \([-2, 4]\).

Щоб знайти критичні точки, знову потрібно знайти похідну \(f'(x)\) та розв'язати рівняння \(f'(x) = 0\):

\[f'(x) = \frac{4(x^2 + 1) - 8x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{4x^2 + 4 - 16x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-12x^2 + 4}{(x^2 + 1)^2}\]

Розв'язавши \(-12x^2 + 4 = 0\), отримаємо критичну точку:

\[x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}\]

Тепер оцінимо значення функції \(f(x)\) в цих точках та на кінцях проміжку:

- \(f(-2) = \frac{4(-2)}{(-2)^2 + 1} = -\frac{8}{5}\) - \(f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{4 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}}{\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 + 1} = 2\sqrt{3}\) - \(f\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{4 \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}{\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 + 1} = -2\sqrt{3}\) - \(f(4) = \frac{4 \cdot 4}{4^2 + 1} = \frac{16}{17}\)

Найменше значення функції \(f\) на проміжку \([-2, 4]\) дорівнює \(-\frac{8}{5}\) (досягається при \(x = -2\)), а найбільше значення дорівнює \(2\sqrt{3}\) (досягається при \(x = \frac{1}{\sqrt{3}}\)).

Надіюся, ця відповідь була корисною! Якщо у вас є ще які-небудь питання, будь ласка, не соромтеся їх задати.