Question

У колі із центром о проведено непаралельні хорди МК і NP, MK = NP, точки А і В серединни хорда MK NPвідповідно. Доведіть, що 0AB = OBA.​

Answer 1

Відповідь:

Покрокове пояснення:

Дано: О - центр кола. KM, NP - хорди (KM не паралельне NC).

КМ = ND. А - середина КМ. В - середина NP.

Довести: ZOAB = ZOBA.

Доведення:

Виконаємо додаткові побудови: радіуси ОК, ОМ, ON, OP.

Розглянемо ∆КОМ i ∆NОР.

КО = ОМ та N0 = ОР - радіуси, тобто КО = N0 = ОМ = ОР (за побудовою).

За умовою КМ = NP.

За III ознакою piвностi трикутників маємо: ∆КОМ = ∆NOP.

Звідси маємо: ∟OKM = ∟OPN, ∟OMK = ∟ONP.

За умовою А - середина КМ, отже, КА = КМ = 1/2КМ.

В - середина NP, отже, BN = ВР = 1/2NP.

Розглянемо ∆АОК i ∆ОРВ.

Якщо АК = РВ; OK = OP, ∟OKM = ∟OPN.

За I ознакою piвностi трикутників маємо: ∆ОАК = ∆ОВР.

Звідси маємо: ОА = ОВ.

Тобто ∆ОАВ - р1внобедрений.

За властивістю кутів при основi piвнобедреного трикутника маємо: ∟OAB = ∟OBA.

Доведено.

Answer 2

Для доведення рівності 0AB = OBA можна використати теорему про хорди, яка стверджує, що якщо дві хорди кола перетинаються, то добуток довжин їхніх відрізків від точки перетину до країв хорди є постійним.

За умовою задачі хорди MK і NP є непаралельними і перетинаються в точці O (центр кола).

Оскільки точка A лежить на хорді MK, то можна записати, що OА * АВ = ОМ * МК.

Аналогічно, оскільки точка В лежить на хорді NP, то можна записати, що ОВ * ВА = ОН * NP.

Оскільки MK = NP за умовою задачі, то можна записати, що ОМ * МК = ОН * NP.

Звідси випливає, що ОА * АВ = ОВ * ВА.

Це означає, що добуток довжин відрізків ОА і OB від точки O до точки перетину хорд MK і NP є однаковим, тобто 0AB = OBA.