Question

Cos²5п/12-sin²5п/12=​

Answer 1

Ответ:

-$\sqrt{3} \2$/2

Пошаговое объяснение:

cos²5п/12-sin²5п/12=​cos(2*5п/12)=​cos(5п/6)= -$\sqrt{3} \2$/2

Answer 2

Давайте рассмотрим выражение `cos²(5π/12) - sin²(5π/12)` более подробно, используя тригонометрические тождества.

Начнем с формулы разности для тригонометрических функций: \[cos(A - B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)\]

В данном случае, мы можем представить \(A\) и \(B\) следующим образом: \[A = \frac{π}{4}\] \[B = \frac{π}{3}\]

Теперь мы можем выразить \(cos(5π/12)\) и \(sin(5π/12)\) с использованием этих значений: \[cos(5π/12) = cos(π/4 - π/3) = cos(π/4)cos(π/3) + sin(π/4)sin(π/3)\]

Зная, что \(cos(π/4) = sin(π/4) = \frac{√2}{2}\) и \(cos(π/3) = 1/2\) и \(sin(π/3) = √3/2\), мы можем подставить эти значения: \[cos(5π/12) = \frac{√2}{2} * \frac{1}{2} + \frac{√2}{2} * \frac{√3}{2}\] \[cos(5π/12) = \frac{√2}{4} + \frac{√6}{4}\]

Теперь вычислим \(sin(5π/12)\) аналогичным образом: \[sin(5π/12) = sin(π/4 - π/3) = sin(π/4)cos(π/3) - cos(π/4)sin(π/3)\]

Подставляя известные значения, получаем: \[sin(5π/12) = \frac{√2}{2} * \frac{1}{2} - \frac{√2}{2} * \frac{√3}{2}\] \[sin(5π/12) = \frac{√2}{4} - \frac{√6}{4}\]

Теперь у нас есть значения \(cos(5π/12)\) и \(sin(5π/12)\), и мы можем вычислить \(cos²(5π/12) - sin²(5π/12)\): \[cos²(5π/12) - sin²(5π/12) = \left(\frac{√2}{4} + \frac{√6}{4}\right)² - \left(\frac{√2}{4} - \frac{√6}{4}\right)²\]

Теперь вычислим каждое слагаемое: \[(cos(5π/12))^2 = \left(\frac{√2}{4} + \frac{√6}{4}\right)² = \frac{1}{8} + \frac{√2}{4} + \frac{3}{8}\] \[(sin(5π/12))^2 = \left(\frac{√2}{4} - \frac{√6}{4}\right)² = \frac{1}{8} - \frac{√2}{4} + \frac{3}{8}\]

Теперь вычитаем второе из первого: \[(cos(5π/12))^2 - (sin(5π/12))^2 = \left(\frac{1}{8} + \frac{√2}{4} + \frac{3}{8}\right) - \left(\frac{1}{8} - \frac{√2}{4} + \frac{3}{8}\right)\] \[= \frac{1}{8} + \frac{√2}{4} + \frac{3}{8} - \frac{1}{8} + \frac{√2}{4} - \frac{3}{8}\] \[= \frac{1}{8} + \frac{√2}{4} + \frac{3}{8} - \frac{1}{8} - \frac{√2}{4} + \frac{3}{8}\] \[= \frac{1}{4} + \frac{3}{4}\] \[= 1\]

Итак, \(cos²(5π/12) - sin²(5π/12) = 1\).