Question

Найти частное решение дифферинцального уравнения (1+x^2)y''=2xy'

Answer 1

Дифференциальное уравнение, допускающее понижение порядка
$(1+x^2)y''=2xy'\\y'=z;y''=z'\\(1+x^2)\frac{dz}{dx}=2xz|*\frac{dx}{z(1+x^2)}\\\frac{dz}{z}=\frac{2xdx}{1+x^2}\\\int\frac{dz}{z}=\int\frac{d(1+x^2)}{1+x^2}\\ln|z|=ln|1+x^2|+ln|C|\\z=C_1(1+x^2)\\y'=C_1(1+x^2)\\y=C_1\int(1+x^2)dx\\y=C_1(x+\frac{x^3}{3}+C_2)$

Answer 2

Дифференциальное уравнение, которое вы предоставили, является уравнением второго порядка с переменными коэффициентами. Для нахождения его частного решения мы можем использовать метод вариации постоянных, так как уравнение имеет вид Эйлера-Коши.

Шаг 1: Представление решения в виде степенного ряда

Для начала представим решение уравнения в виде степенного ряда:

y(x) = ∑[n=0 to ∞] aₙxⁿ

Где aₙ - коэффициенты, которые мы должны найти.

Шаг 2: Подстановка представления решения в уравнение

Теперь подставим представление решения в уравнение и выполним несколько дифференцирований:

y' = ∑[n=0 to ∞] (n+1)aₙxⁿ

y'' = ∑[n=0 to ∞] (n+1)(n+2)aₙxⁿ

Шаг 3: Подстановка выражений в уравнение

Теперь подставим полученные выражения для y, y' и y'' в исходное уравнение:

(1+x²)∑[n=0 to ∞] (n+1)(n+2)aₙxⁿ = 2x∑[n=0 to ∞] (n+1)aₙxⁿ

Шаг 4: Упорядочивание выражения

Для упорядочивания выражения, приведем его к общему виду:

∑[n=0 to ∞] (n+1)(n+2)aₙxⁿ + ∑[n=0 to ∞] (n+1)(n+2)aₙxⁿ³ = 2x∑[n=0 to ∞] (n+1)aₙxⁿ

Шаг 5: Разделение на степени x

Теперь разделим полученное выражение на степени x и упорядочим его:

(2a₀ + 6a₁x + 12a₂x² + ...) + (a₁ + 6a₂x + 12a₃x² + ...)x² + ... = 2(a₀ + 2a₁x + 3a₂x² + ...)x + 2(a₁ + 2a₂x + 3a₃x² + ...)x³

Шаг 6: Уравнение для коэффициентов

Теперь уравнение сократится, если коэффициенты при каждой степени x обратятся в нуль. Это даст систему уравнений для коэффициентов aₙ:

2a₀ = 0

6a₁ - 2a₀ = 0

12a₂ - a₁ = 0

12a₃ - 2a₁ = 0

...

Шаг 7: Решение системы уравнений

Решив эту систему уравнений, мы найдем значения коэффициентов aₙ. Решение этой системы будет давать нам частное решение дифференциального уравнения.

Пожалуйста, обратите внимание, что для решения этой системы потребуется использование алгебраических методов, таких как методы Гаусса или Крамера. Решение системы уравнений может быть довольно сложным, и я могу предоставить вам численные значения коэффициентов aₙ, если вы предоставите конкретные значения или начальные условия для решения уравнения.