Question

Об’єм тіла, що утворене при обертанні навколо осі Ох криволінійної трапеції неперервної функції у=f(x)≥0, a≤х≤b, обчислюється за формулою:

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$S=\int\limits^b_a {f(x)x} \, dx$

Answer 2

Об'єм тіла, утвореного при обертанні навколо осі Oy криволінійної трапеції, обмеженої графіком неперервної на [a; b] функції u = f(x), такої що f(x) ≥ 0 для кожного x [a; b] та прямими u = 0; x = a; x = b, можна знайти за допомогою методу дискретизації та інтегрування .

Основна ідея полягає в тому, щоб розбити область під кривою на багато малих прямокутників, обчислити площу кожного з них, а потім зсунути їх у бік осі обертання, щоб утворити сфери, і обчислити об'єм кожної з цих сфер. Сума об'ємів всіх сфер дасть об'єм утвореного тіла.

Процес може бути сформульований наступним чином:

1. Розбити область під кривою на багато малих прямокутників. Кожен прямокутник має ширину, що дорівнює dx, та висоту, що дорівнює f(x). Межі інтегрування для x будуть від a до b.

2. Обчислити площу кожного прямокутника. Площа прямокутника дорівнює base * height, тому площа прямокутника дорівнює f(x) * dx.

3. Зсунути кожен прямокутник у бік осі обертання, щоб утворити сферу. Радіус кожної сфери дорівнює f(x), тому об'єм кожної сфери дорівнює 4/3 * π * (f(x))^3.

4. Обчислити об'єм утвореного тіла як суму об'ємів всіх сфер. Це можна зробити, інтегрувавши площу кожного прямокутника по всьому інтервалу [a; b].

Отже, об'єм утвореного тіла можна обчислити за формулою:

V = ∫ from a to b [4/3 * π * (f(x))^3] dx

Ця формула є застосуванням методу дискретизації та інтегрування, який є одним з основних методів чисельного інтегрування в математиці .