Question

∫∫(12x²y²+16x³y³)dxdy, D: x=1, y=x², y=-√x Help me

Answer 1

Ответ: 1.

Пошаговое объяснение:

Запишем интеграл в виде ∫dx∫(12*x²*y²+16*x³*y³)*dy. Для вычисления внутреннего интеграла пересечём область D прямыми, параллельными оси ОУ. Они входят в область D через границу y=-√x и выходят из неё через границу y=x². Поэтому нижним и верхним пределами интегрирования являются функции y1=-√x и y2=x². Вычисляя внутренний интеграл, находим: ∫(12*x²*y²+16*x³*y³)*dy=4*x²*y³+4*x³*y⁴. Подставляя вместо y пределы интегрирования y1 и y2, получаем функцию от x f(x)=4*x¹¹+4*x⁸-4*x⁵+4*x³*√x. Вычислим теперь внешний интеграл ∫f(x)*dx. Пределами интегрирования, очевидно, являются x1=0 и x1=1. Интегрируя, находим F(x)=4*∫x¹¹*dx+4*∫x⁸*dx-4*∫x⁵*dx+4*∫x^(7/2)*dx=1/3*x¹²+4/9*x⁹-2/3*x⁶+8/9*x^(9/2). Подставляя пределы интегрирования x1 и x2, находим ∫∫(12*x²*y²+16*x³*y³)*dx*dy=1/3+4/9-2/3+8/9=1.  

Answer 2

Конечно, я помогу вам с этим интегралом. Давайте разберемся пошагово.

Дан интеграл:

∬(12x²y² + 16x³y³) dxdy

в области D, ограниченной кривыми:

x = 1 y = x² y = -√x

Для начала, давайте разберемся с пределами интегрирования.

Ограничение x = 1 задает верхний предел для x. Это означает, что мы будем интегрировать по x от 0 до 1.

Далее, ограничение y = x² задает нижний предел для y. Это означает, что y будет изменяться от 0 до 1 (поскольку y = x², а при x = 1, y = 1).

И наконец, ограничение y = -√x задает верхний предел для y. Это означает, что y будет изменяться от -1 до 0 (поскольку y = -√x, а при x = 1, y = -1).

Итак, наш интеграл будет выглядеть следующим образом:

∫ от 0 до 1 ∫ от -√x до x² (12x²y² + 16x³y³) dy dx

Теперь мы можем начать вычисления. Сначала проинтегрируем по y:

∫(12x²y² + 16x³y³) dy

= 4x²y³ + 4x⁴y⁴ + C

Теперь подставим верхний и нижний пределы:

[4x²(x²)³ + 4x⁴(x²)⁴] - [4x²(-√x)³ + 4x⁴(-√x)⁴]

= 4x⁸ + 4x¹⁰ - 4x⁵√x - 4x⁸

= 4x¹⁰ - 4x⁵√x

Теперь интегрируем по x:

∫ от 0 до 1 (4x¹⁰ - 4x⁵√x) dx

Мы можем разбить этот интеграл на две части:

∫ от 0 до 1 4x¹⁰ dx - ∫ от 0 до 1 4x⁵√x dx

Первая часть будет:

[4/11x¹¹] от 0 до 1 = 4/11

Вторая часть потребует небольших преобразований. Давайте воспользуемся заменой переменной:

Пусть u = √x, тогда du = (1/2√x) dx, или 2du = dx/√x

Теперь можем переписать интеграл как:

∫ от 0 до 1 4u¹⁰ * 2du = 8∫u¹⁰ du

= (8/11)u¹¹ от 0 до 1 = 8/11

Итак, вторая часть равна 8/11.

Итак, общий результат:

4/11 - 8/11 = -4/11

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще какие-то вопросы, пожалуйста, дайте знать.