Question

Решитб уравнение cos^2(x+пи/2)=-1/4tgx ОЧЕНЬ СРОЧНО УМОЛЯЮ

Answer 1

Ответ:

х=пи*К

или

x=-пи/12+пи*К или , что то же самое

х=11пи/12+пи*К

или

x=7пи/12+пи*К

К - всюду любое целое число.

Пошаговое объяснение:

cos^2(x+пи/2)=cos^2(пи/2-(-х))=sin^2(-x)=sin^(x)

sin^2(x)=0,25sin(x)/cos(x)

Одно множество решений sin(x)=0  х=пи*К, где К-любое целое.

Иначе:sin(x)=0,25/cos(x)

sin(x)*cos(x)=-0,25

2*sin(x)*cos(x)=-0,5

sin(2x)=-0,5

2x=-пи/6+2*пи*К, где К-любое целое.

или

2x=7пи/6+2*пи*К, где К-любое целое.

значит

x=-пи/12+пи*К, где К-любое целое.

или

2x=7пи/12+пи*К, где К-любое целое.

Answer 2

Конечно, давайте решим уравнение подробно.

У нас есть уравнение: \( \cos^2(x + \frac{\pi}{2}) = -\frac{1}{4}\tan(x) \).

Давайте воспользуемся тригонометрическими тождествами для упрощения левой части уравнения. Тождество \(\cos(\theta + \frac{\pi}{2}) = -\sin(\theta)\) может быть полезным. Подставим это тождество:

\[ \sin^2(x) = -\frac{1}{4}\tan(x) \].

Теперь давайте воспользуемся тождеством \(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\) и подставим его в уравнение:

\[ \sin^2(x) = -\frac{1}{4}\cdot\frac{\sin(x)}{\cos(x)} \].

Домножим обе стороны на \(\cos(x)\), чтобы избавиться от дроби в правой части:

\[ \sin^2(x)\cos(x) = -\frac{1}{4}\sin(x) \].

Теперь у нас есть уравнение синуса и косинуса. Рассмотрим два случая:

1. Если \(\sin(x) = 0\), то уравнение превращается в тождество \(0 = 0\), что верно для любого \(x\).

2. Если \(\sin(x) \neq 0\), то мы можем поделить обе стороны на \(\sin(x)\) и получим:

\[ \sin(x)\cos(x) = -\frac{1}{4} \].

Теперь воспользуемся тождеством \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\):

\[ \sin(2x) = -\frac{1}{4} \].

Теперь найдем все значения \(x\), удовлетворяющие этому уравнению. Воспользуемся арксинусом:

\[ 2x = \arcsin\left(-\frac{1}{4}\right) \].

Таким образом,

\[ x = \frac{\arcsin\left(-\frac{1}{4}\right)}{2} + k\pi \],

где \(k\) - целое число.