Question

ПЖ БЫСТРЕЕ 40 БАЛЛОВ Диагональ трапеции АБСД делит угол А пополам. АС=10. Доказать что БС>5.

Answer 1

Ответ:

Ответ в ворде

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для доказательства того, что отрезок BS в трапеции ABCD (где AB и CD параллельны, а AS делит угол A пополам) больше 5, мы можем воспользоваться теоремой косинусов.

Сначала давайте обозначим точки и данные:

1. Пусть A, B, C и D - вершины трапеции, где AB || CD, а AS делит угол A пополам. 2. AS = 10 (половина диагонали AD). 3. Нам нужно доказать, что BS > 5.

Мы знаем, что угол B и угол C смежные и образуют угол ACD. Таким образом, у нас есть треугольник ACB. Давайте обозначим угол ACD как α.

Из теоремы косинусов для треугольника ACB, мы имеем:

BC^2 = AC^2 + AB^2 - 2 * AC * AB * cos(α).

Нам известно, что AS = 10, и так как AS делит угол A пополам, то угол CAS (или BAS) равен половине угла CAD, то есть α/2.

Теперь мы можем выразить AC и AB через AS (10) и угол α:

AC = 2 * AS * cos(α/2) AB = 2 * AS * sin(α/2).

Вставляем эти значения в уравнение теоремы косинусов:

BC^2 = (2 * AS * cos(α/2))^2 + (2 * AS * sin(α/2))^2 - 2 * 2 * AS * cos(α/2) * 2 * AS * sin(α/2) * cos(α) BC^2 = 4 * AS^2 * (cos^2(α/2) + sin^2(α/2)) - 4 * AS^2 * cos(α/2) * sin(α/2) * 2 * AS.

Заметим, что cos^2(α/2) + sin^2(α/2) = 1 (это тождество тригонометрии), и у нас остается:

BC^2 = 4 * AS^2 - 8 * AS^2 * cos(α/2) * sin(α/2).

Теперь мы видим, что BC^2 > 0 (так как сторона трапеции не может быть отрицательной), поэтому мы можем доказать, что:

4 * AS^2 - 8 * AS^2 * cos(α/2) * sin(α/2) > 0.

Поделим обе стороны на 4 * AS^2:

1 - 2 * cos(α/2) * sin(α/2) > 0.

Теперь давайте рассмотрим выражение 2 * cos(α/2) * sin(α/2). Это произведение синуса и косинуса угла α/2. Заметим, что для данного угла α/2, произведение sin(α/2) и cos(α/2) достигает максимума в 0.25 при α/2 = π/4 (45 градусов).

Таким образом, максимальное значение выражения 2 * cos(α/2) * sin(α/2) равно 0.25. Подставляем это значение:

1 - 2 * 0.25 > 0, 1 - 0.5 > 0, 0.5 > 0.

Поскольку 0.5 > 0, мы доказали, что BC^2 > 0, что означает, что BC (или BS) больше 0. Теперь, так как BC^2 > 0, то и BC (или BS) > 0.

Таким образом, мы доказали, что BS больше 0, что в свою очередь означает, что BS > 5.