Question

В треугольнике АВС точки Р и М лежат на сторонах АВ и АС соответственно. Точкой Р сторона АВ делится в отношени. АР:РВ=3:10, а площадь треугольника АРМ составляет шестую часть от площади треугольника АВС. В каком отношении точка М делит сторону АС?

Answer 1

Ответ: 13 : 5.

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Пусть отношение, в котором точка М делит сторону АС, равно а:б, где а и б - неизвестные коэффициенты.

Так как точка Р делит сторону АВ в отношении 3:10, то можно записать, что AR:RV = 3:10. Значит, отношение AR:AB = 3:13.

Также известно, что площадь треугольника АРМ составляет шестую часть от площади треугольника АВС. Обозначим площадь треугольника АВС как S. Тогда площадь треугольника АРМ равна S/6.

Площадь треугольника можно выразить через длины его сторон, используя формулу Герона. Пусть a, b и c - длины сторон треугольника АВС, и p - полупериметр. Тогда S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)), где p = (a + b + c)/2.

Заметим, что треугольники АВС и АРМ имеют общую высоту, опущенную из вершины А. Так как площадь треугольника АРМ составляет шестую часть от площади треугольника АВС, то отношение их оснований равно √(6:1) = √6:1.

Так как отношение AR:AB = 3:13, то отношение MR:MB = 10:3.

Теперь можно составить уравнение, используя отношения оснований треугольников АРМ и АВС: MR/MB = √6/1, MR/(AR +