Question

Знайдіть рівння дотичной до графіка функції а f(x)=3x2 -x3 у точкі з абсцисом x0=-2

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Щоб знайти рівняння дотичної до графіка функції \(f(x) = 3x^2 - x^3\) в точці з абсцисою \(x_0 = -2\), використаємо поняття похідної функції визначеної точки. Похідна функції \(f(x)\) показує швидкість зміни функції в кожній точці.

1. Спочатку знайдемо похідну \(f'(x)\) функції \(f(x)\):

\[f(x) = 3x^2 - x^3\]

Візьмемо похідну цієї функції по \(x\):

\[f'(x) = \frac{d}{dx} (3x^2 - x^3)\]

Для цього застосуємо правила похідних:

\[f'(x) = 6x - 3x^2\]

2. Знаємо, що точка \((x_0, f(x_0))\) лежить на графіку функції. Тому підставимо \(x_0 = -2\) у похідну функції \(f'(x)\), щоб знайти похідну в цій точці:

\[f'(-2) = 6(-2) - 3(-2)^2\] \[f'(-2) = -12 - 12 = -24\]

Отже, ми знайшли значення похідної функції в точці \(x_0 = -2\). Це є нахил кривої функції у цій точці.

3. Тепер, для знаходження рівняння дотичної, використаємо формулу точкової форми лінії. Форма лінії:

\[y - y_1 = m(x - x_1)\]

де \(m\) - нахил дотичної, \((x_1, y_1)\) - координати точки на графіку функції, \(y\) і \(x\) - змінні координати точки на дотичній.

Знаємо, що точка \((x_0, f(x_0))\) лежить на графіку функції. Тому координати цієї точки: \((-2, f(-2))\). Значення функції \(f(-2)\) можна знайти, підставивши \(-2\) у вихідну функцію \(f(x)\):

\[f(-2) = 3(-2)^2 - (-2)^3\] \[f(-2) = 3(4) - (-8) = 12 + 8 = 20\]

Отже, координати точки \(P(-2, 20)\) лежать на графіку функції \(f(x)\).

4. Тепер підставимо значення нахилу \(m = -24\) і координати точки \(P(-2, 20)\) в формулу дотичної:

\[y - 20 = -24(x + 2)\]

Це рівняння дотичної до графіка функції \(f(x)\) у точці з абсцисою \(x_0 = -2\). Якщо потрібно, його можна переписати у більш звичному вигляді, наприклад, у вигляді \(y = -24x - 52\).