Question

Решите пожалуйсто уравнение2sin4x+3cos2x+1=0

Answer 1

8x^2+6x+1=0 d=b^2-4ac ; 36-32=4

Answer 2

Для решения данного уравнения мы будем использовать тригонометрические тождества и свойства.

Уравнение: 2sin(4x) + 3cos(2x) + 1 = 0

Для начала, заметим, что у нас присутствуют функции sin и cos. Чтобы избавиться от переменных и сделать замену, воспользуемся следующими тригонометрическими тождествами:

sin(2x) = 2sin(x)cos(x) cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)

Применив первое тождество, получаем:

2sin(4x) + 3cos(2x) + 1 = 2(2sin(2x)cos(2x)) + 3(cos^2(2x) - sin^2(2x)) + 1

Далее, заменим sin^2(2x) на выражение (1 - cos^2(2x)):

2(2sin(2x)cos(2x)) + 3(cos^2(2x) - sin^2(2x)) + 1 = 2(2sin(2x)cos(2x)) + 3(cos^2(2x) - (1 - cos^2(2x))) + 1

Раскроем скобки и упростим уравнение:

2(2sin(2x)cos(2x)) + 3(cos^2(2x) - (1 - cos^2(2x))) + 1 = 4sin(2x)cos(2x) + 3cos^2(2x) - 3 + 3cos^2(2x) + 1 =

= 4sin(2x)cos(2x) + 6cos^2(2x) - 2

Теперь у нас есть уравнение только с функциями sin и cos, без переменной x. Обозначим cos(2x) = t:

4sin(2x)cos(2x) + 6cos^2(2x) - 2 = 4sin(2x)t + 6t^2 - 2 = 0

Таким образом, получаем уравнение вида квадратного трёхчлена 6t^2 + 4sin(2x)t - 2 = 0. Решая его производим замену t на cos(2x) и решаем полученное уравнение относительно t.

Способы решения уравнения 6t^2 + 4sin(2x)t - 2 = 0 могут варьироваться. Один из возможных методов - использование квадратного трёхчлена.

Выразим коэффициенты квадратного трёхчлена:

a = 6, b = 4sin(2x), c = -2

Используя формулу для решения квадратного трёхчлена, получим:

t = [-4sin(2x) ± √((4sin(2x))^2 - 4 * 6 * (-2))] / (2 * 6) t = [-4sin(2x) ± √(16sin^2(2x) + 48)] / 12 t = [-2sin(2x) ± √(sin^2(2x) + 3)] / 6

Таким образом, получаем два квадратных корня в зависимости от знака:

1) t1 = [-2sin(2x) + √(sin^2(2x) + 3)] / 6 2) t2 = [-2sin(2x) - √(sin^2(2x) + 3)] / 6

Заметим, что t = cos(2x), следовательно:

1) cos(2x) = [-2sin(2x) + √(sin^2(2x) + 3)] / 6 2) cos(2x) = [-2sin(2x) - √(sin^2(2x) + 3)] / 6

Отсюда мы можем выразить sin(2x) через cos(2x) и решить полученные уравнения относительно cos(2x).

Однако, для того чтобы продолжить решение, нужно знать ограничения на переменную x. Если x принадлежит диапазону от 0° до 360° или от 0 до 2π радиан, то мы можем применить дополнительные свойства тригонометрии, чтобы продолжить решение.

Следует заметить, что наши уравнения включают переменные sin и cos. Рассмотрим первое уравнение:

cos(2x) = [-2sin(2x) + √(sin^2(2x) + 3)] / 6

Используя свойство cos^2 + sin^2 = 1, мы можем заменить sin^2(2x) в уравнении:

cos(2x) = [-2sin(2x) + √(1 - cos^2(2x) + 3)] / 6 cos(2x) = [-2sin(2x) + √(4 - cos^2(2x))] / 6

Разбиваем уравнение на две части:

−2sin(2x) / 6 + √(4 - cos^2(2x)) / 6 = cos(2x) / 6

Умножаем обе части на 6 для избавления от дробей:

-2sin(2x) + √(4 - cos^2(2x)) = cos(2x)

Теперь, используя тождество sin(2x) = 2sin(x)cos(x), мы можем заменить sin(2x):

-2(2sin(x)cos(x)) + √(4 - cos^2(2x)) = cos(2x)

Упрощаем:

-4sin(x)cos(x) + √(4 - cos^2(2x)) - cos(2x) = 0

Таким образом, мы получили новое уравнение, в котором отсутствуют функции sin(2x) и cos^2(2x). Полученное уравнение можно решить методами алгебры или численными методами, чтобы получить значения переменной x.

В итоге, для полного решения уравнения 2sin(4x) + 3cos(2x) + 1 = 0, нужно продолжить решение уравнения cos(2x) = [-2sin(2x) + √(sin^2(2x) + 3)] / 6 и уравнения -4sin(x)cos(x) + √(4 - cos^2(2x)) - cos(2x) = 0. Затем, решив эти уравнения, можно получить значения переменной x.