Question

ДАЮ 100 БАЛЛОВ !!! Решите задачи за формулами Бернуллі 1. Пристрій, що складається із шести незалежно працюючих елементів, включається за час Т. Імовірність відмови кожного з них за цей час дорівнює 0,1. Знайти ймовірність того,що відмовить хоча б один елемент. 2.Електролампи виготовляються на трьох заводах. 1-й завод виробляє 70% загальної кількості ламп, 2-й – 20%, а 3-й – решту. Продукція 1-го заводу містить 2% бракованих ламп, 2-го – 1,5%, 3-го – 0,5%. До магазину надходить продукція всіх трьох заводів. Куплена лампа виявилася із браком. Яка ймовірність того, що вона вироблена 3-м заводом?

Answer 1

Ответ:

1)Для вирішення цієї задачі за допомогою формули Бернуллі можна використовувати протилежну ймовірність того, що жоден з елементів не відмовить, а потім відняти її від 1, щоб отримати ймовірність того, що хоча б один елемент відмовить.

Імовірність того, що кожен елемент не відмовить, дорівнює 0,9, оскільки ймовірність відмови для кожного елементу дорівнює 0,1.

Тепер застосуємо формулу для ймовірності того, що всі незалежні події відбудуться:

Ймовірність, що всі елементи не відмовлять = 0,9^6 = 0,531441.

Тепер знайдемо ймовірність того, що хоча б один елемент відмовить, віднявши цю імовірність від 1:

Ймовірність, що хоча б один елемент відмовить = 1 - 0,531441 ≈ 0,468559.

Отже, ймовірність того, що хоча б один елемент відмовить, становить приблизно 0,4686, або 46,86%.

Answer 2

1. Для розв'язання першої задачі використаємо формулу Бернуллі. Імовірність відмови кожного з шести незалежних елементів дорівнює 0,1, тобто p = 0,1. Шукана ймовірність, що жоден з елементів не відмовить, дорівнює (1 - p), тобто (1 - 0,1) = 0,9.

Оскільки ці події (відмова кожного елемента) незалежні, то ймовірність того, що жоден з них не відмовить, дорівнює добутку ймовірностей окремих елементів:

P(всі елементи не відмовлять) = (0,9)^6 = 0,531441.

Тепер, щоб знайти ймовірність того, що хоча б один елемент відмовить, віднімемо цю ймовірність від 1:

P(хоча б один елемент відмовить) = 1 - P(всі елементи не відмовлять) = 1 - 0,531441 = 0,468559.

Отже, ймовірність того, що відмовить хоча б один елемент, становить близько 0,4686 або 46,86%.

2. Для розв'язання другої задачі скористаємося формулою умовної ймовірності. Хоча лампа була з браком, ми хочемо знати ймовірність того, що вона вироблена 3-м заводом.

Позначимо події: - A1: лампа вироблена 1-м заводом, - A2: лампа вироблена 2-м заводом, - A3: лампа вироблена 3-м заводом, - B: лампа має брак.

За умовою завдання відомо ймовірності: P(A1) = 0,7 (1-й завод виробляє 70% ламп), P(A2) = 0,2 (2-й завод виробляє 20% ламп), P(A3) = 0,1 (3-й завод виробляє решту, тобто 10% ламп), P(B|A1) = 0,02 (бракованість ламп від 1-го заводу), P(B|A2) = 0,015 (бракованість ламп від 2-го заводу), P(B|A3) = 0,005 (бракованість ламп від 3-го заводу).

Шукаємо ймовірність, що лампа вироблена 3-м заводом при умові, що вона має брак. Використовуємо формулу умовної ймовірності:

P(A3|B) = (P(A3) * P(B|A3)) / P(B),

де P(B) - загальна ймовірність мати браковану лампу.

Загальна ймовірність мати браковану лампу P(B) можна знайти, використовуючи закон повної ймовірності:

P(B) = P(A1) * P(B|A1) + P(A2) * P(B|A2) + P(A3) * P(B|A3) = (0,7 * 0,02) + (0,2 * 0,015) + (0,1 * 0,005) = 0,014 + 0,003 + 0,0005 = 0,0175.

Тепер ми можемо знайти P(A3|B):

P(A3|B) = (0,1 * 0,005) / 0,0175 = 0,0005 / 0,0175 ≈ 0,0286.

Отже, ймовірність того, що лампа з браком вироблена 3-м заводом, становить близько 0,0286 або 2,86%.