Question

Lim √1+x - √1-xx-0 3x​

Answer 1

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{3x}=\left\{\dfrac{0}{0}\right\}=\lim_{x \to 0}\dfrac{(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}{3x(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}=\\ \\ \\ =\lim_{x \to 0}\dfrac{\left(\sqrt{1+x}\right)^2-\left(\sqrt{1-x}\right)^2}{3x\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\right)}=\lim_{x \to 0}\dfrac{1+x-1+x}{3x\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\right)}=\\ \\ \\ =\lim_{x \to 0}\dfrac{2x}{3x\left(\sqrt{1+0}+\sqrt{1-0}\right)}=\dfrac{2}{3\cdot 2}=\dfrac{1}{3}$

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся определением предела функции.

lim (x -> 0) √(1+x) - √(1-x) / x + 3x

Начнем с рационализации выражения в числителе:

lim (x -> 0) [(√(1+x) - √(1-x)) * (√(1+x) + √(1-x))] / (x + 3x)

=(x -> 0) [(√(1+x))^2 - (√(1-x))^2] / (4x)

Упростим числитель:

=[(1 + x) - (1 - x)] / (4x)

=(2x) / (4x)

=1/2

Таким образом, имеем:

lim (x -> 0) √(1+x) - √(1-x) / x + 3x = 1/2