Question

Даны координаты точек А, В, С и М. Найти: 1. уравнение плоскости Q, проходящей через точки А, В, и С; 2.канонические уравнения прямой, проходящей через точку М перпендикулярно плоскости Q,; 3.точки пересечения полученной прямой с плоскостью Q,и с координатными плоскостями xOy, xOz, yOz; А(3;-1;5) В(7;1;1) С(4;-2;1) М(5;1;0)

Answer 1

Даны координаты точек: А(3;-1;5), В(7;1;1), С(4;-2;1) , М(5;1;0).

Найти: 1. уравнение плоскости Q, проходящей через точки А, В, и С.

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA            y - yA             z - zA

xB - xA        yB - yA           zB - zA

xC - xA        yC - yA           zC - zA    = 0

Подставим данные и упростим выражение:

x - 3            y - (-1)           z - 5

7 - 3            1 - (-1)            1 - 5

4 - 3           (-2) - (-1)         1 - 5   = 0

x - 3          y - (-1)           z - 5

4            2               -4

1           -1                  -4      = 0

(x - 3)  (2·(-4)-(-4)·(-1))  -  (y - (-1))  (4·(-4)-(-4)·1)  +  (z - 5) ( 4·(-1)-2·1)  = 0

(-12) (x - 3)  + 12 (y - (-1))  + (-6) (z - 5)  = 0

 - 12x + 12y - 6z + 78 = 0   или, сократив на (-6) получаем:

2x - 2y + z - 13 = 0.

2.канонические уравнения прямой, проходящей через точку М

перпендикулярно плоскости Q.

Нормальный вектор плоскости Q - это направляющий вектор перпендикуляра к этой плоскости: n = (2; -2; 1).

Получаем уравнение перпендикуляра к плоскости Q через точку М:

(x - 5)/2 = (y - 1)/(-2) = z/1.

3.точки пересечения полученной прямой с плоскостью Q,и с

координатными плоскостями xOy, xOz, yOz.

Найденное уравнение перпендикуляра выразим в параметрическом виде: (x - 5)/2 = (y - 1)/(-2) = z/1 = t.

Выражаем координаты переменных с помощью параметра t.

x = 2t + 5, y = -2t + 1, z = t и подставим в уравнение плоскости.

2(2t + 5) - 2(-2t + 1) + t - 13 = 0,

4t + 10 + 4t - 2 + t - 13 = 0,

9t = 5.

t = 5/9 и получаем координаты точки пересечения прямой и плоскости Q:  

x = 2(5/9) + 5 = 55/9,

y = -2(5/9) + 1 = -1/9,

z = 5/9.

C плоскостью xOy при z = 0,   (x -5)/2 = 0, x = 5, (у - 1)/(-2) = 0, у = 1.

C плоскостью xOz при у = 0, (x -5)/2 = 0, x = 5, z/1 = 0, z = 0.

С плоскостью yOz при x = 0, (y -1)/2 = 0, y = 1, z/1 = 0, z = 0.

Answer 2

1. Уравнение плоскости Q, проходящей через точки А, В и С

Для нахождения уравнения плоскости, проходящей через три точки, можно воспользоваться следующей формулой:

Уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0

где A, B и C - коэффициенты, определяющие нормаль к плоскости, а D - свободный член.

Для нахождения этих коэффициентов, можно воспользоваться следующими шагами:

1. Найдите векторы AB и AC, используя координаты точек A, B и C: AB = B - A = (7 - 3, 1 - (-1), 1 - 5) = (4, 2, -4) AC = C - A = (4 - 3, -2 - (-1), 1 - 5) = (1, -1, -4)

2. Найдите векторное произведение векторов AB и AC, чтобы получить нормаль к плоскости: N = AB x AC = (2*(-4) - (-1)*(-4), (-4)*1 - (-1)*1, 4*1 - 2*(-1)) = (4, -3, 6)

3. Подставьте координаты одной из точек (например, точки A) и найденный вектор N в уравнение плоскости: 4x - 3y + 6z + D = 0

4. Найдите D, используя координаты точки A: 4*3 - 3*(-1) + 6*5 + D = 0 12 + 3 + 30 + D = 0 D = -45

Таким образом, уравнение плоскости Q, проходящей через точки A, B и C, будет иметь вид: 4x - 3y + 6z - 45 = 0

2. Канонические уравнения прямой, проходящей через точку М перпендикулярно плоскости Q

Для нахождения канонических уравнений прямой, проходящей через точку М и перпендикулярной плоскости Q, можно воспользоваться следующими шагами:

1. Найдите нормальный вектор к плоскости Q (вектор N, найденный ранее).

2. Вектор направления прямой будет перпендикулярен нормальному вектору плоскости Q, поэтому можно взять вектор N как вектор направления прямой.

3. Уравнение прямой векторного вида через точку M будет иметь вид: r = M + tN

где r - радиус-вектор точки на прямой, t - параметр, M - координаты точки М, N - нормальный вектор плоскости Q.

4. Канонические уравнения прямой можно получить, разложив радиус-вектор r на составляющие по осям x, y и z: x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct

где a, b и c - координаты нормального вектора N, x0, y0 и z0 - координаты точки М.

Таким образом, канонические уравнения прямой, проходящей через точку М и перпендикулярной плоскости Q, будут иметь вид: x = 5 + 4t y = 1 - 3t z = 0 + 6t

3. Точки пересечения полученной прямой с плоскостью Q и с координатными плоскостями xOy, xOz, yOz

Для нахождения точек пересечения прямой с плоскостью Q и с координатными плоскостями xOy, xOz и yOz, можно подставить уравнения прямой в уравнение плоскости и координатные плоскости и решить полученные системы уравнений.

1. Пересечение прямой с плоскостью Q: Подставим уравнения прямой в уравнение плоскости Q: 4x - 3y + 6z - 45 = 0 4(5 + 4t) - 3(1 - 3t) + 6(0 + 6t) - 45 = 0 Решим полученное уравнение относительно параметра t, чтобы найти координаты точек пересечения.

2. Пересечение прямой с координатной плоскостью xOy: Подставим уравнения прямой в уравнение плоскости xOy: z = 0 Подставим z = 0 в уравнения прямой: x = 5 + 4t y = 1 - 3t Решим полученные уравнения относительно параметра t, чтобы найти координаты точек пересечения.

3. Пересечение прямой с координатной плоскостью xOz: Подставим уравнения прямой в уравнение плоскости xOz: y = 0 Подставим y = 0 в уравнения прямой: x = 5 + 4t z = 0 + 6t Решим полученные уравнения относительно параметра t, чтобы найти координаты точек пересечения.

4. Пересечение прямой с координатной плоскостью yOz: Подставим уравнения прямой в уравнение плоскости yOz: x = 0 Подставим x = 0 в уравнения прямой: y = 1 - 3t z = 0 + 6t Решим полученные уравнения относительно параметра t, чтобы найти координаты точек пересечения.

Выполнение этих шагов позволит найти точки пересечения прямой с плоскостью Q и с координатными плоскостями xOy, xOz и yOz.